题目
判断下列非齐次线性方程组解的存在性情况 ) 2(x)_(1)+2(x)_(2)-(x)_(3)=6 (x)_(1)-2(x)_(2)+4(x)_(3)=3 5(x)_(1)+8(x)_(2)+(x)_(3)=14 .A.非零解B.无解C.无穷多解D.唯一解
判断下列非齐次线性方程组解的存在性情况
A.非零解
B.无解
C.无穷多解
D.唯一解
题目解答
答案
题中方程组的增广矩阵为
，将其第二行加上第一行，第三行减去4倍第一行，得
，第三行加上第二行，得
，因此系数矩阵和增广矩阵的秩都为3，而未知量个数也为3，所以方程组有解且有唯一解，选D.
解析
步骤 1：构造增广矩阵
构造方程组的增广矩阵，即在系数矩阵右侧添加常数项列，得到增广矩阵$\left (\begin{matrix} 2& 2& -1& 6\\ 1& -2& 4& 3\\ 5& 8& 1& 14\end{matrix} ) \right.$。
步骤 2：进行初等行变换
对增广矩阵进行初等行变换，以简化矩阵。首先，将第二行加上第一行，第三行减去4倍第一行，得到$\left (\begin{matrix} 2& 2& -1& 6\\ 3& 0& 3& 9\\ -3& 0& 5& -10\end{matrix} ) \right.$。
步骤 3：继续进行初等行变换
继续对矩阵进行初等行变换，将第三行加上第二行，得到$\left (\begin{matrix} 2& 2& -1& 6\\ 3& 0& 3& 9\\ 0& 0& 8& -1\end{matrix} ) \right.$。
步骤 4：判断解的存在性
观察变换后的矩阵，发现系数矩阵和增广矩阵的秩都为3，而未知量个数也为3，因此方程组有解且有唯一解。
构造方程组的增广矩阵，即在系数矩阵右侧添加常数项列，得到增广矩阵$\left (\begin{matrix} 2& 2& -1& 6\\ 1& -2& 4& 3\\ 5& 8& 1& 14\end{matrix} ) \right.$。
步骤 2：进行初等行变换
对增广矩阵进行初等行变换，以简化矩阵。首先，将第二行加上第一行，第三行减去4倍第一行，得到$\left (\begin{matrix} 2& 2& -1& 6\\ 3& 0& 3& 9\\ -3& 0& 5& -10\end{matrix} ) \right.$。
步骤 3：继续进行初等行变换
继续对矩阵进行初等行变换，将第三行加上第二行，得到$\left (\begin{matrix} 2& 2& -1& 6\\ 3& 0& 3& 9\\ 0& 0& 8& -1\end{matrix} ) \right.$。
步骤 4：判断解的存在性
观察变换后的矩阵，发现系数矩阵和增广矩阵的秩都为3，而未知量个数也为3，因此方程组有解且有唯一解。