44.下列级数收敛的是（）(2分) A. tan(pi)/(3)+tan(pi)/(3^n)+...+tan(pi)/(3^n)+... B. (1+1)/(1+2^2)+(1+3)/(1+4^2)+...+(1+(2n-1))/(1+(2n)^2)+... C. sum_(n=1)^infty(1)/(sqrt[3](n(n+1)(n+2))) D. sum_(n=2)^infty(1)/(ln^10)n

考查要点：本题主要考查级数收敛性的判断，涉及比较判别法、几何级数性质、调和级数的发散性以及近似展开法的应用。

解题核心思路：

1. 比较判别法：将通项与已知收敛性级数（如几何级数、调和级数）比较。
2. 近似展开：当项中含三角函数或多项式时，对大n进行近似化简。
3. 特殊级数性质：几何级数（公比绝对值<1时收敛）、调和级数（发散）。

破题关键点：

• 选项A：利用$\tan x \approx x$（当$x$趋近于0时），转化为几何级数。
• 选项B、C、D：通过近似化简，发现通项与发散级数（如$\frac{1}{n}$）同阶或更大，从而判断发散。

选项A

通项分析：
当$n$趋大时，$\frac{\pi}{3^n} \to 0$，利用$\tan x \approx x$，得：
$\tan\frac{\pi}{3^n} \approx \frac{\pi}{3^n}$
级数形式：
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi}{3^n} = \pi \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n$
结论：公比为$\frac{1}{3}$的几何级数，收敛。

选项B

通项化简：
分子$1 + (2n-1) = 2n$，分母$1 + (2n)^2 \approx 4n^2$，故：
$\frac{2n}{4n^2} = \frac{1}{2n}$
级数形式：
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
结论：与调和级数同阶，发散。

选项C

通项近似：
当$n$趋大时，$n+1 \approx n+2 \approx n$，故：
$\sqrt[3]{n(n+1)(n+2)} \approx \sqrt[3]{n^3} = n$
级数形式：
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
结论：与调和级数相同，发散。

选项D

通项分析：
对大$n$，$\ln n$增长极慢，故$\ln^{10}n < n$，因此：
$\frac{1}{\ln^{10}n} > \frac{1}{n}$
级数形式：
$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln^{10}n}$
结论：与发散的调和级数比较，发散。