题目
6.设有方程组}lambda x_(1)+x_(2)+x_(3)=lambda-3x_(1)+lambda x_(2)+x_(3)=-2x_(1)+x_(2)+lambda x_(3)=-2.问λ取何值时，此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解.
6.设有方程组$\begin{cases}\lambda x_{1}+x_{2}+x_{3}=\lambda-3\\x_{1}+\lambda x_{2}+x_{3}=-2\\x_{1}+x_{2}+\lambda x_{3}=-2\end{cases}$.问λ取何值时，此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解.
题目解答
答案
计算系数矩阵 $A$ 的行列式：
$$
\det(A) = (\lambda - 1)^2(\lambda + 2)
$$
**解的分析：**
1. **唯一解：** $\det(A) \neq 0$，即 $\lambda \neq 1$ 且 $\lambda \neq -2$。
2. **无穷多解：** $\lambda = 1$，方程组等价于 $x_1 + x_2 + x_3 = -2$，通解为：
$$
\boxed{
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-2 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
+ s
\begin{pmatrix}
-1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
+ t
\begin{pmatrix}
-1 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
}
$$
3. **无解：** $\lambda = -2$，方程组矛盾。
**答案：**
$$
\boxed{
\begin{array}{ll}
\text{唯一解:} & \lambda \neq 1 \text{ 且 } \lambda \neq -2 \\
\text{无穷多解:} & \lambda = 1 \\
\text{无解:} & \lambda = -2 \\
\end{array}
}
$$
解析
考查要点：本题主要考查含参数的线性方程组解的情况判断，涉及行列式的计算、秩的判断及通解的求解方法。
解题核心思路：
- 行列式法：计算系数矩阵的行列式$\det(A)$，当$\det(A) \neq 0$时方程组有唯一解；
- 秩判别法：当$\det(A) = 0$时，需进一步分析增广矩阵的秩与系数矩阵的秩是否相等：
- 若相等，则有无穷多解；
- 若不相等，则无解；
- 通解形式：当方程组有无穷多解时，通过自由变量参数化通解。
破题关键点：
- 行列式因式分解：通过计算$\det(A) = (\lambda - 1)^2(\lambda + 2)$，快速确定临界值$\lambda = 1$和$\lambda = -2$；
- 矛盾方程判断：当$\lambda = -2$时，通过行变换发现增广矩阵出现矛盾方程，从而确定无解。
1. 计算系数矩阵的行列式
系数矩阵为：
$A = \begin{pmatrix}\lambda & 1 & 1 \\1 & \lambda & 1 \\1 & 1 & \lambda\end{pmatrix}$
计算行列式：
$\det(A) = \lambda(\lambda^2 - 1) - 1(\lambda - 1) + 1(1 - \lambda) = (\lambda - 1)^2(\lambda + 2)$
2. 分析解的情况
- 唯一解：当$\det(A) \neq 0$，即$\lambda \neq 1$且$\lambda \neq -2$；
- 行列式为零时（$\lambda = 1$或$\lambda = -2$）：
- $\lambda = 1$：方程组退化为$x_1 + x_2 + x_3 = -2$，自由变量为$x_2, x_3$，通解含两个参数；
- $\lambda = -2$：增广矩阵出现矛盾方程$0 = -9$，方程组无解。
3. 无穷多解的通解
当$\lambda = 1$时，设$x_2 = s$，$x_3 = t$，则$x_1 = -2 - s - t$，通解为：
$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$