题目

9.已知X和Y的联合密度为-|||-f(x,y)= ) cxy,0leqslant xleqslant 1,0leqslant yleqslant 1 0, . .-|||-试求:(1)常数c;(2)X和Y的联合分布函数F(x,y).

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查联合概率密度函数的归一化性质以及联合分布函数的计算方法。

解题思路：

  1. 求常数c：利用概率密度函数的归一化条件，即积分在整个定义域内等于1，建立方程求解。
  2. 求联合分布函数F(x,y)：根据联合分布函数的定义，分不同区域（如变量是否超出定义域）进行积分计算，注意分段讨论。

关键点：

  • 归一化积分：正确确定积分区域并计算积分。
  • 分段讨论：根据x和y的取值范围，分情况计算分布函数。

(1) 求常数c

根据概率密度函数的归一化条件：
$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dx \, dy = 1$

由于$f(x,y)=cxy$仅在$0 \leq x \leq 1$和$0 \leq y \leq 1$时非零，积分简化为：
$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} cxy \, dx \, dy = 1$

计算积分：

  1. 对x积分：
    $\int_{0}^{1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2}$

  2. 对y积分：
    $\int_{0}^{1} y \, dy = \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2}$

  3. 整体积分：
    $c \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{c}{4} = 1 \implies c = 4$

(2) 求联合分布函数F(x,y)

联合分布函数定义为：
$F(x,y) = P(X \leq x, Y \leq y) = \int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} f(u,v) \, du \, dv$

分情况讨论：

情况1：$x \leq 0$ 或 $y \leq 0$

此时$f(u,v)=0$，故：
$F(x,y) = 0$

情况2：$x \geq 1$ 且 $y \geq 1$

覆盖整个定义域，故：
$F(x,y) = 1$

情况3：$0 \leq x \leq 1$ 且 $0 \leq y \leq 1$

积分范围为$[0,x] \times [0,y]$：
$F(x,y) = \int_{0}^{x} \int_{0}^{y} 4uv \, du \, dv = 4 \cdot \frac{x^2}{2} \cdot \frac{y^2}{2} = x^2 y^2$

情况4：$x \geq 1$ 且 $0 \leq y \leq 1$

积分范围为$[0,1] \times [0,y]$：
$F(x,y) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{y} 4uv \, du \, dv = 4 \cdot \frac{1^2}{2} \cdot \frac{y^2}{2} = y^2$

情况5：$y \geq 1$ 且 $0 \leq x \leq 1$

积分范围为$[0,x] \times [0,1]$：
$F(x,y) = \int_{0}^{x} \int_{0}^{1} 4uv \, du \, dv = 4 \cdot \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1^2}{2} = x^2$