题目
设随机变量的概率密度为 , ,则 (A) ( B ) ( C ) ( D )
设随机变量
的概率密度为 
, 
,则
(A) 
( B ) 
( C ) 
( D ) 
题目解答
答案
由概率密度的性质：
可知，
解得，
;
故答案为A。
解析
步骤 1：确定概率密度函数的性质
概率密度函数$f(x)$满足${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1$，即整个区间上的积分等于1。
步骤 2：计算积分
将给定的概率密度函数$f(x)=k{e}^{-\dfrac {{(x-1)}^{2}}{4}}$代入积分${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1$中，得到${\int }_{-\infty }^{\infty }k{e}^{-\dfrac {{(x-1)}^{2}}{4}}dx=1$。
步骤 3：简化积分
通过变量替换$u=\dfrac{x-1}{2}$，得到$du=\dfrac{1}{2}dx$，从而${\int }_{-\infty }^{\infty }k{e}^{-\dfrac {{(x-1)}^{2}}{4}}dx=2k{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-{u}^{2}}du$。
步骤 4：利用已知积分结果
已知${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-{u}^{2}}du=\sqrt{\pi}$，代入上式得到$2k\sqrt{\pi}=1$。
步骤 5：求解$k$
解方程$2k\sqrt{\pi}=1$，得到$k=\dfrac{1}{2\sqrt{\pi}}$。
概率密度函数$f(x)$满足${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1$，即整个区间上的积分等于1。
步骤 2：计算积分
将给定的概率密度函数$f(x)=k{e}^{-\dfrac {{(x-1)}^{2}}{4}}$代入积分${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1$中，得到${\int }_{-\infty }^{\infty }k{e}^{-\dfrac {{(x-1)}^{2}}{4}}dx=1$。
步骤 3：简化积分
通过变量替换$u=\dfrac{x-1}{2}$，得到$du=\dfrac{1}{2}dx$，从而${\int }_{-\infty }^{\infty }k{e}^{-\dfrac {{(x-1)}^{2}}{4}}dx=2k{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-{u}^{2}}du$。
步骤 4：利用已知积分结果
已知${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-{u}^{2}}du=\sqrt{\pi}$，代入上式得到$2k\sqrt{\pi}=1$。
步骤 5：求解$k$
解方程$2k\sqrt{\pi}=1$，得到$k=\dfrac{1}{2\sqrt{\pi}}$。