题目

(1)设随机变量X的概率密度为-|||-f(x)= e` x>0, 0, x 0. -|||-求(i) =2x; (ii)Y=(e)^-2x 的数学期望.-|||-(2)设随机变量X1,X 2,···,Xn相互独立,且都服从(0,1)上的均匀分布-|||-(i)求 =max {x)_(1),(x)_(2),... ,(x)_(n)} 的数学期望,(ii)求 =min {x)_(1),(x)_(2),... ,(x)_(n)} 的-|||-数学期望.

题目解答

答案

解析

考查要点

  1. 随机变量函数的数学期望：掌握通过概率密度函数直接计算函数期望的方法。
  2. 指数分布的性质：熟悉指数分布的期望公式及其应用。
  3. 均匀分布的极值分布：理解独立均匀分布随机变量最大值和最小值的分布函数推导方法，并计算其期望。

解题核心思路

  • (1)(i)：利用期望的线性性质，直接计算 $E(2X)$。
  • (1)(ii)：通过定义计算 $E(e^{-2X})$，结合指数分布的积分性质。
  • (2)(i) 和 (ii)：通过分布函数法推导最大值 $U$ 和最小值 $V$ 的概率密度，再计算期望。

(1) 求 $Y=2X$ 和 $Y=e^{-2X}$ 的数学期望

(i) $Y=2X$

关键步骤

  1. 利用线性性质：
    $E(Y) = E(2X) = 2E(X).$
  2. 计算 $E(X)$：
    $X$ 服从参数为 $1$ 的指数分布，其期望为 $E(X) = \frac{1}{1} = 1$。
  3. 结果：
    $E(Y) = 2 \times 1 = 2.$

(ii) $Y=e^{-2X}$

关键步骤

  1. 定义期望：
    $E(Y) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2x} f(x) \, dx.$
  2. 代入概率密度：
    $E(Y) = \int_{0}^{\infty} e^{-2x} e^{-x} \, dx = \int_{0}^{\infty} e^{-3x} \, dx.$
  3. 计算积分：
    $\int_{0}^{\infty} e^{-3x} \, dx = \left[ -\frac{1}{3} e^{-3x} \right]_0^{\infty} = \frac{1}{3}.$
  4. 结果：
    $E(Y) = \frac{1}{3}.$

(2) 求均匀分布极值的期望

(i) $U = \max\{X_1, X_2, \cdots, X_n\}$

关键步骤

  1. 分布函数法：
    $F_U(u) = P(U \leq u) = P(X_1 \leq u, X_2 \leq u, \cdots, X_n \leq u) = u^n \quad (0 \leq u \leq 1).$
  2. 概率密度函数：
    $f_U(u) = \frac{d}{du} F_U(u) = n u^{n-1} \quad (0 < u < 1).$
  3. 计算期望：
    $E(U) = \int_{0}^{1} u \cdot n u^{n-1} \, du = n \int_{0}^{1} u^n \, du = \frac{n}{n+1}.$

(ii) $V = \min\{X_1, X_2, \cdots, X_n\}$

关键步骤

  1. 分布函数法：
    $F_V(v) = P(V \leq v) = 1 - P(X_1 > v, X_2 > v, \cdots, X_n > v) = 1 - (1 - v)^n \quad (0 \leq v \leq 1).$
  2. 概率密度函数：
    $f_V(v) = \frac{d}{dv} F_V(v) = n (1 - v)^{n-1} \quad (0 < v < 1).$
  3. 计算期望：
    $E(V) = \int_{0}^{1} v \cdot n (1 - v)^{n-1} \, dv.$
    通过分部积分法可得：
    $E(V) = \frac{1}{n+1}.$