题目

用代数法将下列各式化简成最简的与-或表达式：(1) (A+B)+(A+B)+(AB)(overline(AB))(2) B+ABC+AC+AB(3) ABCD+ABD+BCoverline(D)+ABCoverline(D)+Boverline(C)(4) AC+ABC+Boverline(C)+ABC

用代数法将下列各式化简成最简的与-或表达式： (1) $(A+B)+(A+B)+(AB)(\overline{AB})$ (2) $B+ABC+AC+AB$ (3) $ABCD+ABD+BC\overline{D}+ABC\overline{D}+B\overline{C}$ (4) $AC+ABC+B\overline{C}+ABC$

题目解答

答案

我们来逐题用代数法将这些逻辑表达式化简成最简的“与-或”表达式（即仅使用 AND 和 OR 运算符的表达式，没有 NOT 之外的运算符）。

(1) $(A+B)+(A+B)+(AB)(\overline{AB})$

步骤 1：合并重复项

$(A+B)+(A+B) = (A+B)$
所以原式变为：
$(A+B) + (AB)(\overline{AB})$

步骤 2：分析 $(AB)(\overline{AB})$

  • $(AB)$ 是两个变量的与。
  • $\overline{AB}$ 是它们的非（即 NOT）。
  • 一个变量与其非的与为 0：
    $(AB)(\overline{AB}) = 0$

步骤 3：代入

$(A+B) + 0 = A + B$

答案：

$\boxed{A + B}$

(2) $B + ABC + AC + AB$

步骤 1：合并项

我们注意到 $AB$ 和 $ABC$ 都包含 $AB$，所以可以提取 $AB$：
$B + AB + AC + ABC = B + AB(1 + C) + AC$

因为 $1 + C = 1$，所以：
$AB(1 + C) = AB$

所以原式变为：
$B + AB + AC$

步骤 2：提取公共因子

$B + AB = B(1 + A) = B$

所以原式变为：
$B + AC$

答案：

$\boxed{B + AC}$

(3) $ABCD + ABD + BC\overline{D} + ABC\overline{D} + B\overline{C}$

步骤 1：观察每一项

我们尝试提取公共因子。

先看 $ABCD$ 和 $ABD$，它们都包含 $ABD$：
$ABCD + ABD = ABD(C + 1) = ABD$

再看 $BC\overline{D} + ABC\overline{D}$，它们都包含 $BC\overline{D}$：
$BC\overline{D} + ABC\overline{D} = BC\overline{D}(1 + A) = BC\overline{D}$

所以原式变为：
$ABD + BC\overline{D} + B\overline{C}$

步骤 2：提取 B

$ABD + BC\overline{D} + B\overline{C} = B(AD + C\overline{D} + \overline{C})$

步骤 3：化简括号内

$AD + C\overline{D} + \overline{C}$

我们尝试将 $C\overline{D} + \overline{C}$ 化简：

$C\overline{D} + \overline{C} = \overline{C} + C\overline{D} = \overline{C} + \overline{D}$

（因为 $\overline{C} + C\overline{D} = \overline{C} + \overline{D}$，这是逻辑代数中的一个恒等式）

所以原式变为：
$B(AD + \overline{C} + \overline{D})$

答案：

$\boxed{B(AD + \overline{C} + \overline{D})}$

(4) $AC + ABC + B\overline{C} + ABC$

步骤 1：合并重复项

$ABC + ABC = ABC$

所以原式变为：
$AC + ABC + B\overline{C}$

步骤 2：提取公共因子

$AC + ABC = AC(1 + B) = AC$

所以原式变为：
$AC + B\overline{C}$

答案：

$\boxed{AC + B\overline{C}}$

总结答案：

  1. $\boxed{A + B}$
  2. $\boxed{B + AC}$
  3. $\boxed{B(AD + \overline{C} + \overline{D})}$
  4. $\boxed{AC + B\overline{C}}$

解析

本题主要考查逻辑代数的化简，解题思路是运用逻辑代数的基本定律和恒等式，如合并重复项、提取公因式、吸收律（$A + AB = A$）、互补律（$A\overline{A}=0$，$A + \overline{A}=1$）等，将给定的逻辑表达式化简为最简的与 - 或表达式。

（1）化简$(A + B)+(A + B)+(AB)(\overline{AB})$

  • 合并重复项：
    根据逻辑代数中相同项相加等于该项本身，即$X + X = X$，对于$(A + B)+(A + B)$，可得$(A + B)+(A + B)=(A + B)$，此时原式变为$(A + B)+(AB)(\overline{AB})$。
  • 分析$(AB)(\overline{AB})$：
    根据互补律，一个变量与其非的与为$0$，即$X\overline{X}=0$，这里$X = AB$，所以$(AB)(\overline{AB}) = 0$。
  • 代入化简：
    将$(AB)(\overline{AB}) = 0$代入$(A + B)+(AB)(\overline{AB})$，根据$X + 0 = X$，可得$(A + B)+0 = A + B$。

（2）化简$B + ABC + AC + AB$

  • 合并项：
    观察到$AB$和$ABC$都包含$AB$，根据分配律$X + XY = X(1 + Y)$，可得$B + AB + AC + ABC = B + AB(1 + C) + AC$。
    因为$1 + C = 1$，所以$AB(1 + C) = AB$，此时原式变为$B + AB + AC$。
  • 提取公共因子：
    对于$B + AB$，根据吸收律$X + XY = X$，可得$B + AB = B(1 + A) = B$，所以原式变为$B + AC$。

（3）化简$ABCD + ABD + BC\overline{D} + ABC\overline{D} + B\overline{C}$

  • 观察每一项并提取公共因子：
    • 对于$ABCD$和$ABD$，它们都包含$ABD$，根据分配律$X + XY = X(1 + Y)$，可得$ABCD + ABD = ABD(C + 1) = ABD$。
    • 对于$BC\overline{D}$和$ABC\overline{D}$，它们都包含$BC\overline{D}$，同理可得$BC\overline{D} + ABC\overline{D} = BC\overline{D}(1 + A) = BC\overline{D}$。
      此时原式变为$ABD + BC\overline{D} + B\overline{C}$。
  • 提取$B$：
    根据分配律，可得$ABD + BC\overline{D} + B\overline{C} = B(AD + C\overline{D} + \overline{C})$。
  • 化简括号内：
    对于$C\overline{D} + \overline{C}$，根据逻辑代数恒等式$\overline{C} + C\overline{D} = \overline{C} + \overline{D}$，所以$AD + C\overline{D} + \overline{C}=AD + \overline{C} + \overline{D}$，则原式变为$B(AD + \overline{C} + \overline{D})$。

（4）化简$AC + ABC + B\overline{C} + ABC$

  • 合并重复项：
    根据$X + X = X$，对于$ABC + ABC$，可得$ABC + ABC = ABC$，此时原式变为$AC + ABC + B\overline{C}$。
  • 提取公共因子：
    对于$AC + ABC$，根据吸收律$X + XY = X$，可得$AC + ABC = AC(1 + B) = AC$，所以原式变为$AC + B\overline{C}$。