[题目]设a1,a2是矩阵A属于不同特征值的特征-|||-向量,证明 a1+a2 不是矩阵A的特征向量

考查要点：本题主要考查特征向量、特征值的性质，以及线性无关的概念。
解题核心思路：通过反证法，假设α₁+α₂是A的特征向量，推导出矛盾。
关键点：

1. 不同特征值对应的特征向量线性无关；
2. 若α₁+α₂是特征向量，则其线性组合系数必须满足特定关系，导致特征值相等，与已知矛盾。

步骤1：假设α₁+α₂是A的特征向量
设存在特征值λ，使得：
$A(\alpha_1 + \alpha_2) = \lambda (\alpha_1 + \alpha_2).$

步骤2：展开左边表达式
根据特征向量定义，$A\alpha_1 = \lambda_1 \alpha_1$，$A\alpha_2 = \lambda_2 \alpha_2$，代入得：
$A(\alpha_1 + \alpha_2) = \lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2.$

步骤3：建立等式并整理
将左右两边等式联立：
$\lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2 = \lambda \alpha_1 + \lambda \alpha_2.$
移项得：
$(\lambda_1 - \lambda)\alpha_1 + (\lambda_2 - \lambda)\alpha_2 = 0.$

步骤4：利用线性无关性
由于α₁和α₂属于不同特征值，线性无关，故系数必须全为零：
$\lambda_1 - \lambda = 0 \quad \text{且} \quad \lambda_2 - \lambda = 0.$
即$\lambda = \lambda_1 = \lambda_2$，与已知$\lambda_1 \neq \lambda_2$矛盾。

结论：假设不成立，故α₁+α₂不是A的特征向量。