[题目]设当 geqslant 0 ,geqslant 0 时,二维随机变量(x,y)的-|||-分布函数为 (x,y)=(a-(e)^-x)(b-(e)^-x) ,其中常数 gt 0 ,-|||-gt 0 ,则F(0,0,的值为 ()-|||-A. dfrac (a)(2)-|||-B. dfrac (b)(2)-|||-C.0-|||-D. dfrac (1)(2)

考查要点：本题主要考查二维随机变量分布函数的性质及其在特定点的取值计算，涉及分布函数的基本性质、极限条件以及代数不等式的应用。

解题核心思路：

1. 利用分布函数的极限性质：当$x \to +\infty$且$y \to +\infty$时，分布函数$F(x,y)$应等于1，由此可确定常数$a$和$b$的关系。
2. 代入特定点计算：将$(0,0)$代入分布函数表达式，结合$a$和$b$的关系，通过代数变形和不等式分析确定$F(0,0)$的值。

破题关键点：

• 分布函数的归一性：通过极限条件得出$ab=1$。
• 代数表达式变形：将$F(0,0)$的表达式转化为与$a$相关的式子，利用均值不等式分析其取值范围，最终确定唯一可能的值。

步骤1：确定常数$a$和$b$的关系

根据分布函数的性质，当$x \to +\infty$且$y \to +\infty$时，$F(x,y) \to 1$。代入表达式：
$F(+\infty, +\infty) = (a - e^{-\infty})(b - e^{-\infty}) = (a - 0)(b - 0) = ab = 1.$
因此，$ab = 1$。

步骤2：计算$F(0,0)$的表达式

将$x=0$和$y=0$代入分布函数：
$F(0,0) = (a - e^{0})(b - e^{0}) = (a - 1)(b - 1).$
展开后为：
$F(0,0) = ab - a - b + 1.$
由于已知$ab = 1$，代入得：
$F(0,0) = 1 - a - b + 1 = 2 - a - b.$

步骤3：利用不等式分析取值范围

由$ab = 1$可得$b = \dfrac{1}{a}$，代入上式：
$F(0,0) = 2 - a - \dfrac{1}{a}.$
根据均值不等式，对任意正数$a$，有：
$a + \dfrac{1}{a} \geq 2,$
当且仅当$a = 1$时取等号。因此：
$F(0,0) = 2 - \left(a + \dfrac{1}{a}\right) \leq 2 - 2 = 0.$

步骤4：结合分布函数的非负性

分布函数的值必须非负，因此$F(0,0) \geq 0$。结合上述结果$F(0,0) \leq 0$，可得：
$F(0,0) = 0.$