题目
设3阶矩阵 A, B，则下列结论正确的是()A. (A+B)(A-B)=A^2-B^2B. (A+B)^2=A^2+2AB+B^2C. 若 AB=0，则 A=0 或 B=0D. 若 AB=0，则 |A|=0 或 |B|=0
设3阶矩阵 $A, B$，则下列结论正确的是()
A. $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$
B. $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$
C. 若 $AB=0$，则 $A=0$ 或 $B=0$
D. 若 $AB=0$，则 $|A|=0$ 或 $|B|=0$
题目解答
答案
D. 若 $AB=0$，则 $|A|=0$ 或 $|B|=0$
解析
步骤 1：验证选项A
$(A+B)(A-B)$ 展开后为 $A^2 - AB + BA - B^2$，由于矩阵乘法不满足交换律，即 $AB$ 不一定等于 $BA$，所以选项A不正确。
步骤 2：验证选项B
$(A+B)^2$ 展开后为 $A^2 + AB + BA + B^2$，同样由于矩阵乘法不满足交换律，即 $AB$ 不一定等于 $BA$，所以选项B不正确。
步骤 3：验证选项C
存在非零矩阵 $A$ 和 $B$ 使得 $AB = 0$，例如 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，所以选项C不正确。
步骤 4：验证选项D
由 $AB = 0$ 可知 $|AB| = |A||B| = 0$，因此 $|A| = 0$ 或 $|B| = 0$，所以选项D正确。
$(A+B)(A-B)$ 展开后为 $A^2 - AB + BA - B^2$，由于矩阵乘法不满足交换律，即 $AB$ 不一定等于 $BA$，所以选项A不正确。
步骤 2：验证选项B
$(A+B)^2$ 展开后为 $A^2 + AB + BA + B^2$，同样由于矩阵乘法不满足交换律，即 $AB$ 不一定等于 $BA$，所以选项B不正确。
步骤 3：验证选项C
存在非零矩阵 $A$ 和 $B$ 使得 $AB = 0$，例如 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，所以选项C不正确。
步骤 4：验证选项D
由 $AB = 0$ 可知 $|AB| = |A||B| = 0$，因此 $|A| = 0$ 或 $|B| = 0$，所以选项D正确。