设 A 与 B 均为 n 阶非零方阵，且满足 AB = O，则 A，B 的秩( )A. 必有一个为零B. 一个小于 n，一个等于 nC. 都等于 nD. 都小于 n

考查要点：本题主要考查矩阵乘法的秩性质，特别是当两个非零方阵乘积为零矩阵时，它们的秩之间的关系。

解题核心思路：

1. 秩的性质：若 $AB=O$，则 $B$ 的列空间包含在 $A$ 的零空间中，从而 $r(B) \leq n - r(A)$。
2. 反证法：若 $A$ 或 $B$ 的秩等于 $n$，则其可逆，导致另一矩阵必为零矩阵，与题设矛盾。
3. 综合结论：结合上述两点，可推出 $r(A)$ 和 $r(B)$ 均小于 $n$。

破题关键点：

• 矩阵可逆性：若某矩阵满秩，则其可逆，从而通过乘积为零矩阵推出另一矩阵为零矩阵。
• 秩的关系式：利用秩与零度的关系 $r(A) + \text{零度}(A) = n$，结合矩阵乘积的性质推导。

关键结论：
若 $A$ 和 $B$ 均为 $n$ 阶非零方阵且 $AB=O$，则 $r(A) < n$ 且 $r(B) < n$。

分步推导：

1. 假设 $r(A) = n$：
   若 $A$ 满秩，则 $A$ 可逆。由 $AB=O$，两边左乘 $A^{-1}$ 得 $B = A^{-1}O = O$，与 $B$ 为非零矩阵矛盾。
   结论：$r(A) < n$。

2. 同理假设 $r(B) = n$：
   若 $B$ 满秩，则 $B$ 可逆。由 $AB=O$，两边右乘 $B^{-1}$ 得 $A = OB^{-1} = O$，与 $A$ 为非零矩阵矛盾。
   结论：$r(B) < n$。

3. 综合结论：
   由上述两步可知，$r(A)$ 和 $r(B)$ 均不能等于 $n$，故 都小于 $n$。