【题目】-|||-15.求直线 ) 2x-4y+z=0 3x-y-2z-9=0 . 在平面 4x-y+z=1 上的投影直线的方程.

步骤 1：确定直线的方向向量
直线的方向向量可以通过两个平面的法向量的叉乘得到。给定的两个平面的法向量分别是 $\vec{n_1} = (2, -4, 1)$ 和 $\vec{n_2} = (3, -1, -2)$。因此，直线的方向向量 $\vec{d}$ 为：
$$
\vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -4 & 1 \\ 3 & -1 & -2 \end{vmatrix} = (8, 7, 10)
$$
步骤 2：确定直线与平面的交点
为了找到直线与平面的交点，我们需要解方程组：
$$
\left \{ \begin{matrix} 2x-4y+z=0\\ 3x-y-2z-9=0\\ 4x-y+z=1\end{matrix} \right.
$$
将第三个方程代入前两个方程，可以得到：
$$
\left \{ \begin{matrix} 2x-4y+(1-4x+y)=0\\ 3x-y-2(1-4x+y)-9=0\end{matrix} \right.
$$
化简后得到：
$$
\left \{ \begin{matrix} -2x-3y+1=0\\ 11x-3y-11=0\end{matrix} \right.
$$
解这个方程组，得到 $x=1$，$y=-\frac{1}{3}$。将 $x$ 和 $y$ 的值代入 $4x-y+z=1$，得到 $z=-\frac{2}{3}$。因此，直线与平面的交点为 $(1, -\frac{1}{3}, -\frac{2}{3})$。
步骤 3：确定投影直线的方程
投影直线的方向向量为直线的方向向量 $\vec{d} = (8, 7, 10)$，且通过点 $(1, -\frac{1}{3}, -\frac{2}{3})$。因此，投影直线的方程为：
$$
\left \{ \begin{matrix} x=1+8t\\ y=-\frac{1}{3}+7t\\ z=-\frac{2}{3}+10t\end{matrix} \right.
$$
同时，投影直线位于平面 $4x-y+z=1$ 上，因此，投影直线的方程也可以表示为：
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\left \{ \begin{matrix} 17x+31y-37z-117=0\\ 4x-y+z-1=0.\end{matrix} \right.
$$