已知积分曲面Sigma为半球体0 leq z leq sqrt(1-x^2-y^2)的整个边界曲面,则曲面积分iint_(Sigma) 1 cdot dS等于: A. 2piB. 8piC. 3piD. 4pi

为了求解曲面积分 $\iint\limits_{Σ} 1 \cdot dS$，其中积分曲面Σ为半球体 $0 \leq z \leq \sqrt{1 - x^2 - y^2}$ 的整个边界曲面，我们需要计算半球体的表面积。半球体的边界曲面由两部分组成：半球面和圆盘。 1. **计算半球面的表面积：** 半球面的方程为 $z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$。半球面的表面积可以通过曲面积分计算。对于曲面 $z = f(x, y)$，其表面积元素 $dS$ 为： \[ dS = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2} \, dA \] 其中 $dA$ 是 $xy$-平面上的面积元素。对于半球面 $z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$，我们有： \[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{-y}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}} \] 因此： \[ dS = \sqrt{1 + \left(\frac{-x}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}}\right)^2 + \left(\frac{-y}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}}\right)^2} \, dA = \sqrt{1 + \frac{x^2 + y^2}{1 - x^2 - y^2}} \, dA = \sqrt{\frac{1}{1 - x^2 - y^2}} \, dA = \frac{dA}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}} \] 在极坐标系中， $x = r \cos \theta$， $y = r \sin \theta$， $dA = r \, dr \, d\theta$，半球面的表面积为： \[ \iint\limits_{D} \frac{r \, dr \, d\theta}{\sqrt{1 - r^2}} = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \frac{r \, dr \, d\theta}{\sqrt{1 - r^2}} \] 令 $u = 1 - r^2$，则 $du = -2r \, dr$，当 $r = 0$ 时 $u = 1$，当 $r = 1$ 时 $u = 0$，所以： \[ \int_0^{2\pi} \int_1^0 \frac{-\frac{1}{2} \, du \, d\theta}{\sqrt{u}} = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} \int_0^1 u^{-\frac{1}{2}} \, du \, d\theta = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} \left[ 2u^{\frac{1}{2}} \right]_0^1 \, d\theta = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} \cdot 2 \, d\theta = \int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi \] 因此，半球面的表面积为 $2\pi$。 2. **计算圆盘的面积：** 圆盘的方程为 $z = 0$，半径为 1，所以圆盘的面积为： \[ \pi \cdot 1^2 = \pi \] 3. **计算总表面积：** 半球体的总表面积为半球面的表面积加上圆盘的面积： \[ 2\pi + \pi = 3\pi \] 因此，曲面积分 $\iint\limits_{Σ} 1 \cdot dS$ 等于 $\boxed{3\pi}$。正确答案是 $\boxed{C}$。