题目

2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形。

题目解答

答案

如图所示，设四边形ABCD中的对角线相交于M点，

∵=，，

∴，

即∥且||=||，

因此四边形ABCD是平行四边形。

解析

步骤 1：定义向量
设四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点M，我们定义向量$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MC}$和$\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{MD}$，因为对角线互相平分。

步骤 2：向量加法
根据向量加法的定义，我们有$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB}$和$\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DM} + \overrightarrow{MC}$。

步骤 3：向量相等
由于$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MC}$和$\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{MD}$，我们可以将$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{DC}$表示为$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{DC}$。

步骤 4：平行四边形的定义
根据向量相等的性质，$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$，说明AB和DC平行且长度相等。同理，$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$，说明AD和BC平行且长度相等。因此，四边形ABCD是平行四边形。