题目

(x^3+y^3)dx-3xy^2dy=0;

$(x^{3}+y^{3})dx-3xy^{2}dy=0$;

题目解答

答案

将方程改写为 $\frac{dy}{dx} = \frac{x^3 + y^3}{3xy^2}$。令 $u = \frac{y}{x}$，则 $y = ux$，$\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$。代入得：
$u + x\frac{du}{dx} = \frac{1 + u^3}{3u^2} \implies x\frac{du}{dx} = \frac{1 - 2u^3}{3u^2}$
分离变量并积分：
$\int \frac{3u^2}{1 - 2u^3} du = \int \frac{1}{x} dx \implies -\frac{1}{2} \ln |1 - 2u^3| = \ln |x| + C_1$
解得：
$|1 - 2u^3| = \frac{C}{x^2} \implies 1 - 2\left(\frac{y}{x}\right)^3 = \frac{C}{x^2} \implies x^3 - 2y^3 = Cx$
答案： $\boxed{x^3 - 2y^3 = Cx}$

解析

本题考查一阶齐次微分方程的求解。解题思路是先将给定的微分方程化为齐次方程的标准形式，然后通过变量代换将其转化为可分离变量的微分方程，接着对分离变量后的方程两边进行积分，最后将代换变量还原得到原方程的通解。

  1. 将原方程化为齐次方程标准形式：
    已知方程$(x^{3}+y^{3})dx - 3xy^{2}dy = 0$，移项可得$3xy^{2}dy=(x^{3}+y^{3})dx$，两边同时除以$3x dx$（$x\neq0$），得到$\frac{dy}{dx}=\frac{x^{3}+y^{3}}{3xy^{2}}$。
  2. 进行变量代换：
    令$u = \frac{y}{x}$，则$y = ux$。
    对$y = ux$两边关于$x$求导，根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，这里$u$是关于$x$的函数，$v = x$，可得$\frac{dy}{dx}=u + x\frac{du}{dx}$。
    将$y = ux$和$\frac{dy}{dx}=u + x\frac{du}{dx}$代入$\frac{dy}{dx}=\frac{x^{3}+y^{3}}{3xy^{2}}$中，得到：
    $u + x\frac{du}{dx}=\frac{x^{3}+(ux)^{3}}{3x(ux)^{2}}$
    化简等式右边：
    $\begin{align*}\frac{x^{3}+(ux)^{3}}{3x(ux)^{2}}&=\frac{x^{3}+u^{3}x^{3}}{3x\cdot u^{2}x^{2}}\\&=\frac{x^{3}(1 + u^{3})}{3u^{2}x^{3}}\\&=\frac{1 + u^{3}}{3u^{2}}\end{align*}$
    所以$u + x\frac{du}{dx}=\frac{1 + u^{3}}{3u^{2}}$。
  3. 分离变量：
    移项可得$x\frac{du}{dx}=\frac{1 + u^{3}}{3u^{2}}-u$，通分计算：
    $\begin{align*}\frac{1 + u^{3}}{3u^{2}}-u&=\frac{1 + u^{3}-3u^{3}}{3u^{2}}\\&=\frac{1 - 2u^{3}}{3u^{2}}\end{align*}$
    即$x\frac{du}{dx}=\frac{1 - 2u^{3}}{3u^{2}}$，分离变量得$\frac{3u^{2}}{1 - 2u^{3}}du=\frac{1}{x}dx$。
  4. 两边积分：
    对$\frac{3u^{2}}{1 - 2u^{3}}du=\frac{1}{x}dx$两边分别积分。
    令$t = 1 - 2u^{3}$，则$dt=-6u^{2}du$，$\frac{1}{2}dt=-3u^{2}du$。
    $\int\frac{3u^{2}}{1 - 2u^{3}}du=-\frac{1}{2}\int\frac{1}{t}dt=-\frac{1}{2}\ln|t|=-\frac{1}{2}\ln|1 - 2u^{3}|$
    $\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|$
    所以$-\frac{1}{2}\ln|1 - 2u^{3}|=\ln|x| + C_1$（$C_1$为积分常数）。
  5. 化简并还原变量：
    等式两边同时乘以$-2$得$\ln|1 - 2u^{3}|=-2\ln|x|-2C_1$。
    根据对数运算法则$a\ln b=\ln b^a$，可得$\ln|1 - 2u^{3}|=\ln\frac{1}{x^{2}}-2C_1$。
    令$C = e^{-2C_1}$（$C$为任意常数），则$\ln|1 - 2u^{3}|=\ln\frac{C}{x^{2}}$，所以$|1 - 2u^{3}|=\frac{C}{x^{2}}$。
    将$u = \frac{y}{x}$代回得$1 - 2(\frac{y}{x})^{3}=\frac{C}{x^{2}}$。
    等式两边同时乘以$x^{3}$得$x^{3}-2y^{3}=Cx$。