题目
lim _(xarrow 2)dfrac ({x)^3+2(x)^2}({(x-2))^2}。
。
题目解答
答案
分子分母同时除以,
,
分子趋于,分母趋于
,
所以。
解析
考查要点:本题主要考查极限的计算,特别是分式在分母趋近于0时的极限情况。
解题核心思路:当分母趋近于0且分子趋近于一个非零常数时,分式的极限为无穷大。关键在于分析分子和分母在趋近过程中的趋势。
破题关键点:
- 分母分析:分母$(x-2)^2$在$x \rightarrow 2^+$时趋近于0且始终为正。
- 分子分析:分子$x^3 + 2x^2$在$x \rightarrow 2$时趋近于16(正数)。
- 变形简化:通过分子分母同除以$x^2$,将原式转化为更易分析的形式,明确分子趋近于4,分母趋近于0的正数。
步骤1:分子分母同除以$x^2$
原式变形为:
$\lim _{x\rightarrow {2}^{+}}\dfrac {{x}^{3}+2{x}^{2}}{{(x-2)}^{2}} = \lim _{x\rightarrow {2}^{+}}\dfrac {x+2}{{\left(1-\dfrac{2}{x}\right)^{2}}}$
步骤2:分析分子和分母的趋势
- 分子:当$x \rightarrow 2^+$时,$x + 2 \rightarrow 4$(趋近于4)。
- 分母:当$x \rightarrow 2^+$时,$\dfrac{2}{x} \rightarrow 1$,因此$1 - \dfrac{2}{x} \rightarrow 0^+$(趋近于0的正数),其平方$\left(1 - \dfrac{2}{x}\right)^2 \rightarrow 0^+$。
步骤3:综合判断极限
分子趋近于4(正数),分母趋近于0的正数,因此分式整体趋向于正无穷:
$\lim _{x\rightarrow {2}^{+}}\dfrac {x+2}{{\left(1-\dfrac{2}{x}\right)^{2}}} = +\infty$