求极限lim _(xarrow 0)dfrac ({x)^3+(x)^4}(x-sin x)-|||-__

考查要点：本题主要考查极限的求解方法，特别是处理$\dfrac{0}{0}$型不定式的能力，需要灵活运用泰勒展开或等价无穷小替换。

解题核心思路：

1. 识别不定式类型：当$x \to 0$时，分子$x^3 + x^4$和分母$x - \sin x$均趋近于$0$，属于$\dfrac{0}{0}$型不定式。
2. 选择展开或替换方法：通过泰勒展开或等价无穷小替换，将分子和分母展开到相同阶数，简化分式后求极限。

破题关键点：

• 分母展开：将$\sin x$展开到$x^3$项，得到$x - \sin x \sim \dfrac{x^3}{6}$。
• 分子简化：分子中$x^4$是比$x^3$更高阶的无穷小，可忽略，保留$x^3$项。

步骤1：分析分子和分母的阶数

• 分子：$x^3 + x^4 = x^3(1 + x)$，当$x \to 0$时，$x^4$是$x^3$的高阶无穷小，可近似为$x^3$。
• 分母：$\sin x$的泰勒展开为$\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$，因此：
  $x - \sin x = x - \left(x - \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)\right) = \dfrac{x^3}{6} + o(x^3).$

步骤2：简化分式
将分子和分母的主部代入分式：
$\frac{x^3 + x^4}{x - \sin x} \approx \frac{x^3}{\dfrac{x^3}{6}} = 6.$

步骤3：验证高阶项的影响
分子中的$x^4$和分母中的$o(x^3)$在$x \to 0$时均可忽略，因此极限值为$6$。