(12分)假设一条生产线生产的产品合格率是0.8,要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%,问这批产品至少要生产多少件?

考查要点：本题主要考查中心极限定理的应用，以及如何利用正态分布近似二项分布来求解样本量的问题。

解题核心思路：

1. 将合格率问题转化为二项分布的均值问题，利用中心极限定理将其近似为正态分布。
2. 通过标准化将概率范围转化为标准正态分布下的Z值范围，结合置信水平查表求解临界值。
3. 建立不等式求解最小样本量n，注意结果需取整数。

破题关键点：

• 正确标准化：将合格率范围转化为标准正态分布的Z值。
• 临界值选择：根据概率90%确定Z临界值为1.645。
• 不等式求解：通过代数运算得到n的最小整数值。

步骤1：建立概率模型

设生产n件产品，合格数X服从二项分布$X \sim B(n, 0.8)$。合格率为$\hat{p} = \frac{X}{n}$，要求：
$P(0.76 \leq \hat{p} \leq 0.84) \geq 0.9$

步骤2：应用中心极限定理

当n较大时，$\hat{p}$近似服从正态分布：
$\hat{p} \sim N\left(0.8, \frac{0.8 \times 0.2}{n}\right)$
标准化后：
$Z = \frac{\hat{p} - 0.8}{\sqrt{\frac{0.16}{n}}}$

步骤3：转化概率范围

原不等式转化为：
$P\left(-0.04 \leq \hat{p} - 0.8 \leq 0.04\right) \geq 0.9$
标准化得：
$P\left(-\frac{0.04}{\sqrt{0.16/n}} \leq Z \leq \frac{0.04}{\sqrt{0.16/n}}\right) \geq 0.9$
即：
$P\left(-0.1\sqrt{n} \leq Z \leq 0.1\sqrt{n}\right) \geq 0.9$

步骤4：确定临界值

查标准正态分布表，概率90%对应双侧临界值$Z = \pm 1.645$，因此：
$0.1\sqrt{n} \geq 1.645$

步骤5：求解n

解得：
$\sqrt{n} \geq \frac{1.645}{0.1} = 16.45 \quad \Rightarrow \quad n \geq 16.45^2 \approx 270.6$
取整得最小n为271。