题目
二、填空题（共10题，40.0分）26.（填空题，4.0分）若向量组alpha_(1)=(1,-2,2)^T，alpha_(2)=(2,0,1)^T，alpha_(3)=(3,k,3)^T线性相关，则数k=_____.
二、填空题（共10题，40.0分）
26.（填空题，4.0分）
若向量组$\alpha_{1}=(1,-2,2)^{T}$，$\alpha_{2}=(2,0,1)^{T}$，$\alpha_{3}=(3,k,3)^{T}$线性相关，则数k=_____.
题目解答
答案
将向量组构成的矩阵求行列式，令其为零以确定 $k$ 的值。
矩阵为：
\[
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
-2 & 0 & k \\
2 & 1 & 3
\end{vmatrix}
\]
计算行列式：
\[
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
-2 & 0 & k \\
2 & 1 & 3
\end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix}
0 & k \\
1 & 3
\end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix}
-2 & k \\
2 & 3
\end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix}
-2 & 0 \\
2 & 1
\end{vmatrix} = -k + 12 + 4k - 6 = 3k + 6
\]
令行列式为零：
\[
3k + 6 = 0 \implies k = -2
\]
**答案：** $\boxed{-2}$
解析
步骤 1：构造矩阵
将向量组 $\alpha_{1}=(1,-2,2)^{T}$，$\alpha_{2}=(2,0,1)^{T}$，$\alpha_{3}=(3,k,3)^{T}$ 构成矩阵： \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 0 & k \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \]
步骤 2：计算行列式
计算矩阵 $A$ 的行列式： \[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 0 & k \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & k \\ 1 & 3 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} -2 & k \\ 2 & 3 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \] \[ = 1 \cdot (0 \cdot 3 - k \cdot 1) - 2 \cdot (-2 \cdot 3 - k \cdot 2) + 3 \cdot (-2 \cdot 1 - 0 \cdot 2) \] \[ = -k + 12 + 4k - 6 \] \[ = 3k + 6 \]
步骤 3：令行列式为零
由于向量组线性相关，行列式为零： \[ 3k + 6 = 0 \] 解得： \[ k = -2 \]
将向量组 $\alpha_{1}=(1,-2,2)^{T}$，$\alpha_{2}=(2,0,1)^{T}$，$\alpha_{3}=(3,k,3)^{T}$ 构成矩阵： \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 0 & k \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \]
步骤 2：计算行列式
计算矩阵 $A$ 的行列式： \[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 0 & k \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & k \\ 1 & 3 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} -2 & k \\ 2 & 3 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \] \[ = 1 \cdot (0 \cdot 3 - k \cdot 1) - 2 \cdot (-2 \cdot 3 - k \cdot 2) + 3 \cdot (-2 \cdot 1 - 0 \cdot 2) \] \[ = -k + 12 + 4k - 6 \] \[ = 3k + 6 \]
步骤 3：令行列式为零
由于向量组线性相关，行列式为零： \[ 3k + 6 = 0 \] 解得： \[ k = -2 \]