1.求极限lim_(xto0)([x-ln(x+sqrt(1+x^2))]sin x^2)/([x-ln(1+x)](arctan x-x)).

考查要点：本题主要考查利用泰勒展开求极限的方法，涉及多个函数的泰勒展开式及其主部的提取，以及分式极限的化简技巧。

解题核心思路：

1. 识别各部分主部：将分子和分母中的每个因子分别展开为泰勒多项式，找到它们的主部（即最低次幂的项）。
2. 代入化简：将各部分的主部代入原式，约去相同次幂的项，最终得到极限值。

破题关键点：

• 函数展开的准确性：正确展开$\ln(x+\sqrt{1+x^2})$、$\ln(1+x)$、$\arctan x$的泰勒多项式。
• 主部提取：明确各展开式中对极限起决定作用的最低次幂项。
• 符号处理：注意展开式中的符号，避免计算错误。

分子部分展开

1. $x - \ln(x+\sqrt{1+x^2})$
   令$\ln(x+\sqrt{1+x^2}) = \sinh^{-1}x$，其泰勒展开为：
   $\sinh^{-1}x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$
   因此：
   $x - \sinh^{-1}x = x - \left(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\right) = \frac{x^3}{6} + O(x^5)$
   主部为$\frac{x^3}{6}$。

2. $\sin x^2$
   当$x \to 0$时，$\sin x^2 \sim x^2$（等价无穷小替换）。
   主部为$x^2$。

分母部分展开

1. $x - \ln(1+x)$
   $\ln(1+x)$的泰勒展开为：
   $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + O(x^4)$
   因此：
   $x - \ln(1+x) = x - \left(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + O(x^4)\right) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + O(x^4)$
   主部为$\frac{x^2}{2}$。

2. $\arctan x - x$
   $\arctan x$的泰勒展开为：
   $\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + O(x^7)$
   因此：
   $\arctan x - x = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + O(x^7)$
   主部为$-\frac{x^3}{3}$。

代入化简

将各主部代入原式：
$\begin{aligned}\lim_{x \to 0} \frac{\left(\frac{x^3}{6}\right) \cdot x^2}{\left(\frac{x^2}{2}\right) \cdot \left(-\frac{x^3}{3}\right)} &= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^5}{6}}{-\frac{x^5}{6}} \\&= \lim_{x \to 0} \frac{1/6}{-1/6} \\&= -1.\end{aligned}$