一质点沿一直线运动，其加速度为a=-2x，式中x单位为m，a的单位为m/s2。若当x=1m时，其速度v=4m/s，则当x=3m时，其速度为 m/s

考查要点：本题主要考查变力作用下的运动学方程求解，涉及微分方程的应用及能量守恒思想。

解题核心思路：

1. 将加速度表达式转化为速度与位移的关系：利用链式法则将$a = \frac{dv}{dt}$转换为$a = v \frac{dv}{dx}$，建立微分方程。
2. 分离变量积分：通过积分得到速度与位移的关系式，并结合初始条件确定积分常数。
3. 代入目标位移求解速度：最终代入$x=3\,\text{m}$计算速度。

破题关键点：

• 正确应用链式法则：将时间导数转换为位移导数，建立可分离变量的微分方程。
• 积分后的能量关系：积分结果隐含机械能守恒，可视为动能与势能的转换关系。

建立微分方程

已知加速度$a = -2x$，根据$a = v \frac{dv}{dx}$，得：
$v \frac{dv}{dx} = -2x$

分离变量并积分

分离变量后两边积分：
$\int v \, dv = \int -2x \, dx$
积分结果为：
$\frac{1}{2}v^2 = -x^2 + C$
其中$C$为积分常数。

确定积分常数

代入初始条件$x=1\,\text{m}$时$v=4\,\text{m/s}$：
$\frac{1}{2}(4)^2 = -(1)^2 + C \implies 8 = -1 + C \implies C = 9$
因此方程为：
$\frac{1}{2}v^2 = -x^2 + 9$

求$x=3\,\text{m}$时的速度

代入$x=3$：
$\frac{1}{2}v^2 = -(3)^2 + 9 = -9 + 9 = 0 \implies v^2 = 0 \implies v = 0$