题目
如果D关于y轴对称，_(1)= (x,y)in D|xgeqslant 0 ，则_(1)= (x,y)in D|xgeqslant 0 A，0B，_(1)= (x,y)in D|xgeqslant 0 C，_(1)= (x,y)in D|xgeqslant 0 D，不能确定
如果D关于y轴对称，
，则
A，0
B，
C，
D，不能确定
题目解答
答案
由于D关于y轴对称，可以将D划分为D_1和D_2对称两部分，其中D_1为x≥0的部分。则有：
又因为D_1和D_2关于y轴对称，所以：
将两式相加可得：
答案选择为A。
解析
步骤 1：理解对称性
D关于y轴对称，意味着对于D中的任意点(x, y)，点(-x, y)也在D中。因此，D可以被划分为两部分：${D}_{1}=\{ (x,y)\in D|x\geqslant 0\} $和${D}_{2}=\{ (x,y)\in D|x\leqslant 0\} $，其中${D}_{1}$和${D}_{2}$关于y轴对称。
步骤 2：积分的性质
由于积分是线性的，我们可以将整个区域D上的积分分解为${D}_{1}$和${D}_{2}$上的积分之和。即：
$\iint_{D} x{y}^{2}d\sigma = \iint_{D_{1}} x{y}^{2}d\sigma + \iint_{D_{2}} x{y}^{2}d\sigma$
步骤 3：利用对称性
由于${D}_{1}$和${D}_{2}$关于y轴对称，对于${D}_{1}$中的任意点(x, y)，在${D}_{2}$中存在对应的点(-x, y)。因此，对于${D}_{1}$上的积分，我们可以将${D}_{2}$上的积分通过变量替换x变为-x来表示。即：
$\iint_{D_{2}} x{y}^{2}d\sigma = \iint_{D_{1}} (-x){y}^{2}d\sigma = -\iint_{D_{1}} x{y}^{2}d\sigma$
步骤 4：计算总积分
将步骤3的结果代入步骤2的等式中，我们得到：
$\iint_{D} x{y}^{2}d\sigma = \iint_{D_{1}} x{y}^{2}d\sigma - \iint_{D_{1}} x{y}^{2}d\sigma = 0$
D关于y轴对称，意味着对于D中的任意点(x, y)，点(-x, y)也在D中。因此，D可以被划分为两部分：${D}_{1}=\{ (x,y)\in D|x\geqslant 0\} $和${D}_{2}=\{ (x,y)\in D|x\leqslant 0\} $，其中${D}_{1}$和${D}_{2}$关于y轴对称。
步骤 2：积分的性质
由于积分是线性的，我们可以将整个区域D上的积分分解为${D}_{1}$和${D}_{2}$上的积分之和。即：
$\iint_{D} x{y}^{2}d\sigma = \iint_{D_{1}} x{y}^{2}d\sigma + \iint_{D_{2}} x{y}^{2}d\sigma$
步骤 3：利用对称性
由于${D}_{1}$和${D}_{2}$关于y轴对称，对于${D}_{1}$中的任意点(x, y)，在${D}_{2}$中存在对应的点(-x, y)。因此，对于${D}_{1}$上的积分，我们可以将${D}_{2}$上的积分通过变量替换x变为-x来表示。即：
$\iint_{D_{2}} x{y}^{2}d\sigma = \iint_{D_{1}} (-x){y}^{2}d\sigma = -\iint_{D_{1}} x{y}^{2}d\sigma$
步骤 4：计算总积分
将步骤3的结果代入步骤2的等式中，我们得到：
$\iint_{D} x{y}^{2}d\sigma = \iint_{D_{1}} x{y}^{2}d\sigma - \iint_{D_{1}} x{y}^{2}d\sigma = 0$