题目
设 是可逆阵的一个特征值,则 有一个特征值等于(). A. 1 B. -2 C. 2 D. -4
设 
是可逆阵
的一个特征值,则 
有一个特征值等于().
A. 1 B. -2 C. 2 D. -4
题目解答
答案
现在考虑 。我们可以将其表示为
。根据矩阵的加法和标量乘法的性质，我们可以展开为 
。注意到 
的特征值为 0（因为是奇异矩阵）。因此，
的特征值为 0。另一方面，
是一个对角矩阵，其对角线上的元素为 
。对角矩阵的特征值即为其对角线上的元素。因此，特征值为 。
因此，的特征值为 0 和。代入已知条件,得到 的特征值为 0 和 1。综上所述，的特征值等于 1。因此，选项 (A) 1 是正确答案。
解析
步骤 1：理解特征值的定义
特征值 $\lambda$ 是指对于矩阵 $A$，存在非零向量 $v$，使得 $Av = \lambda v$。这里，$\lambda = 2$ 是矩阵 $A$ 的一个特征值。
步骤 2：计算 $\dfrac {1}{2}A$ 的特征值
如果 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的特征值，那么对于矩阵 $cA$（其中 $c$ 是常数），其特征值为 $c\lambda$。因此，对于矩阵 $\dfrac {1}{2}A$，其特征值为 $\dfrac {1}{2}\lambda$。代入 $\lambda = 2$，得到 $\dfrac {1}{2}A$ 的特征值为 $\dfrac {1}{2} \times 2 = 1$。
特征值 $\lambda$ 是指对于矩阵 $A$，存在非零向量 $v$，使得 $Av = \lambda v$。这里，$\lambda = 2$ 是矩阵 $A$ 的一个特征值。
步骤 2：计算 $\dfrac {1}{2}A$ 的特征值
如果 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的特征值，那么对于矩阵 $cA$（其中 $c$ 是常数），其特征值为 $c\lambda$。因此，对于矩阵 $\dfrac {1}{2}A$，其特征值为 $\dfrac {1}{2}\lambda$。代入 $\lambda = 2$，得到 $\dfrac {1}{2}A$ 的特征值为 $\dfrac {1}{2} \times 2 = 1$。