题目

3.设A,B,C表示三个事件，P(A)=P(B)= (1)/(4) ,P(C)= (1)/(3) ，且P(AB)=P(BC)=0,P(AC)= (1)/(12) ，A,B,C中至少有一个发生的概率是

3.设A,B,C表示三个事件，P(A)=P(B)= $\frac{1}{4}$ ,P(C)= $\frac{1}{3}$ ，且P(AB)=P(BC)=0,P(AC)= $\frac{1}{12}$ ，A,B,C中至少有一个发生的概率是

题目解答

答案

根据题意，已知 $P(A) = P(B) = \frac{1}{4}$，$P(C) = \frac{1}{3}$，$P(AB) = P(BC) = 0$，$P(AC) = \frac{1}{12}$。 要求 $A$、$B$、$C$ 中至少有一个发生的概率，即 $P(A \cup B \cup C)$。 根据概率的加法公式： \[ P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(BC) - P(AC) + P(ABC) \] 将已知条件代入： \[ P(A \cup B \cup C) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 0 - 0 - \frac{1}{12} + P(ABC) \] 由于 $P(AB) = 0$，且 $P(ABC) \leq P(AB) = 0$，故 $P(ABC) = 0$。 因此： \[ P(A \cup B \cup C) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{3}{12} + \frac{4}{12} - \frac{1}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \] 最终，$A$、$B$、$C$ 中至少有一个发生的概率为 $\frac{3}{4}$。 答案：$\frac{3}{4}$

解析

考查要点：本题主要考查三个事件并的概率计算，需要熟练运用概率加法公式，并结合事件的独立性或互斥性进行分析。

解题核心思路：

  1. 应用概率加法公式：对于三个事件的并的概率，公式为
    $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(BC) - P(AC) + P(ABC).$
  2. 分析事件交的关系：题目中给出$P(AB)=0$和$P(BC)=0$，说明事件A与B互斥，事件B与C互斥。同时$P(AC)=\frac{1}{12}$，说明A与C不互斥。
  3. 确定$P(ABC)$的值：由于$P(AB)=0$，而$ABC$是$AB$的子事件，因此$P(ABC)=0$。

根据概率加法公式：
$\begin{aligned}P(A \cup B \cup C) &= P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(BC) - P(AC) + P(ABC) \\&= \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 0 - 0 - \frac{1}{12} + 0.\end{aligned}$

分步计算：

  1. 通分计算：将所有分数转换为以12为分母：
    $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}, \quad \frac{1}{3} = \frac{4}{12}, \quad \frac{1}{12} = \frac{1}{12}.$
  2. 代入数值：
    $\frac{3}{12} + \frac{3}{12} + \frac{4}{12} - \frac{1}{12} = \frac{3 + 3 + 4 - 1}{12} = \frac{9}{12}.$
  3. 化简结果：
    $\frac{9}{12} = \frac{3}{4}.$