5.[填空题]若方程组}tx_(1)+x_(2)+x_(3)=0x_(1)+tx_(2)+x_(3)=0x_(1)+x_(2)+tx_(3)=0有非零解（系数矩阵线性相关），则t=____或____。
题目解答
答案
方程组的系数矩阵为：
$A = \begin{pmatrix} t & 1 & 1 \\ 1 & t & 1 \\ 1 & 1 & t \end{pmatrix}$
方程组有非零解的条件是系数矩阵的行列式为零，即 $\det(A) = 0$。计算行列式：
$\det(A) = t^3 - 3t + 2 = (t - 1)^2(t + 2)$
令 $\det(A) = 0$，解得 $t = 1$（二重根）或 $t = -2$。
答案：
$t = 1$ 或 $t = -2$
$\boxed{\begin{array}{cc}\text{第1空：} & 1 \\\text{第2空：} & -2 \\\end{array}}$
解析
考查要点：本题主要考查齐次线性方程组有非零解的条件，即系数矩阵的行列式为零。需要掌握三阶行列式的计算及因式分解技巧。
解题核心思路：
- 构造系数矩阵，写出方程组对应的矩阵形式。
- 计算行列式，通过展开或因式分解找到行列式为零的条件。
- 解方程，求出参数$t$的值。
破题关键点：
- 行列式为零是方程组有非零解的充要条件。
- 对称矩阵的行列式可通过观察特殊结构（如所有对角线元素相同，非对角线元素相同）简化计算。
- 因式分解可快速求解高次方程的根。
方程组的系数矩阵为：
$A = \begin{pmatrix} t & 1 & 1 \\ 1 & t & 1 \\ 1 & 1 & t \end{pmatrix}$
步骤1：计算行列式
行列式展开公式为：
$\det(A) = t \cdot \det\begin{pmatrix} t & 1 \\ 1 & t \end{pmatrix} - 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & t \end{pmatrix} + 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & t \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
逐项计算：
- $t \cdot (t \cdot t - 1 \cdot 1) = t(t^2 - 1)$
- $-1 \cdot (1 \cdot t - 1 \cdot 1) = -1(t - 1)$
- $1 \cdot (1 \cdot 1 - t \cdot 1) = 1(1 - t)$
合并得：
$\det(A) = t^3 - t - t + 1 + 1 - t = t^3 - 3t + 2$
步骤2：因式分解
观察$t=1$是方程$t^3 - 3t + 2 = 0$的根，故分解为：
$t^3 - 3t + 2 = (t - 1)(t^2 + t - 2) = (t - 1)^2(t + 2)$
步骤3：求解方程
令$\det(A) = 0$，解得：
$t = 1 \quad \text{（二重根）} \quad \text{或} \quad t = -2$