设随机变量X服从(a,b)上的均匀分布,且 E(X)=2 .(X)=dfrac (1)(3) ,则 a= () .A.4B.3C.2D.1

考查要点：本题主要考查均匀分布的期望与方差公式的应用，以及解二元一次方程组的能力。

解题核心思路：

1. 均匀分布的期望公式：$E(X) = \frac{a + b}{2}$；
2. 均匀分布的方差公式：$D(X) = \frac{(b - a)^2}{12}$；
3. 利用已知条件建立方程组，解出$a$和$b$的值。

破题关键点：

• 根据期望公式和方差公式，分别列出关于$a$和$b$的方程；
• 通过联立方程求解$a$的值。

步骤1：根据期望公式列方程

均匀分布的期望为区间中点，即：
$E(X) = \frac{a + b}{2} = 2$
解得：
$a + b = 4 \quad \text{(方程1)}$

步骤2：根据方差公式列方程

均匀分布的方差为：
$D(X) = \frac{(b - a)^2}{12} = \frac{1}{3}$
两边同乘12得：
$(b - a)^2 = 4$
由于$b > a$，故：
$b - a = 2 \quad \text{(方程2)}$

步骤3：联立方程求解

将方程1和方程2联立：
$\begin{cases}a + b = 4 \\b - a = 2\end{cases}$
将第二个方程改写为$b = a + 2$，代入第一个方程：
$a + (a + 2) = 4 \implies 2a + 2 = 4 \implies a = 1$