1.一作简谐振动的质点某时刻位移为x,系统的振动势能恰为振动动能的n倍,则该振动的-|||-振幅为 ()-|||-(A) =(1+dfrac (1)(n))x (B) =(1-dfrac (1)(n))x-|||-(C) =sqrt (1-dfrac {1)(n)}x (D) =sqrt (1+dfrac {1)(n)}x

考查要点：本题主要考查简谐振动中的能量关系，涉及动能、势能与振幅的关系，以及能量守恒的应用。

解题核心思路：

1. 总能量守恒：简谐振动的总能量始终等于最大动能或最大势能，即 $E = \frac{1}{2}kA^2$。
2. 能量分配关系：题目中给出某时刻势能是动能的 $n$ 倍，即 $E_p = nE_k$，需结合总能量表达式建立方程。
3. 联立方程求解：通过总能量公式和能量分配关系，联立求解振幅 $A$。

破题关键点：

• 明确势能与位移的关系：$E_p = \frac{1}{2}kx^2$。
• 动能与总能量的关系：$E_k = E - E_p = \frac{1}{2}kA^2 - \frac{1}{2}kx^2$。
• 代入能量比例关系：将 $E_p = nE_k$ 代入，消去中间变量 $k$，最终解出 $A$。

步骤1：写出总能量与能量分配关系
总能量为 $E = \frac{1}{2}kA^2$，根据题意，$E_p = nE_k$，总能量可表示为：
$E = E_p + E_k = nE_k + E_k = (n+1)E_k.$

步骤2：表达动能与势能
势能 $E_p = \frac{1}{2}kx^2$，动能 $E_k = E - E_p = \frac{1}{2}kA^2 - \frac{1}{2}kx^2$。

步骤3：代入能量比例关系
将 $E_p = nE_k$ 代入，得：
$\frac{1}{2}kx^2 = n\left(\frac{1}{2}kA^2 - \frac{1}{2}kx^2\right).$

步骤4：消去中间变量 $k$
两边同时除以 $\frac{1}{2}k$，化简得：
$x^2 = n(A^2 - x^2).$

步骤5：解方程求振幅 $A$
展开并整理方程：
$x^2 = nA^2 - nx^2 \implies x^2 + nx^2 = nA^2 \implies A^2 = \frac{x^2(1+n)}{n}.$
取正根得：
$A = x\sqrt{\frac{n+1}{n}} = x\sqrt{1+\frac{1}{n}}.$