一直线l过点 A(-3,5,-9) 且与两直线l1: ) y=3x+5 z=2x-3 . 相-|||-交,求此直线方程.

考查要点：本题主要考查空间直线与直线相交的条件，以及如何利用平面法向量确定共面直线的方向向量。

解题核心思路：

1. 共面条件：直线$l$与$l_1$、$l_2$相交，说明$l$分别与$l_1$、$l_2$所在的平面共面。
2. 法向量确定：通过直线的方向向量与点$A$到直线上某点的向量叉乘，得到两个平面的法向量$\mathbf{n}_1$和$\mathbf{n}_2$。
3. 方向向量求解：所求直线$l$的方向向量$\mathbf{s}$为$\mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2$，最终结合点$A$写出直线方程。

破题关键点：

• 正确转换直线方程为对称式，提取方向向量和已知点。
• 准确计算向量叉乘，确保法向量和方向向量的正确性。

步骤1：确定直线$l_1$和$l_2$的方向向量及已知点

• 直线$l_1$：
  对称式为$\dfrac{x}{1} = \dfrac{y-5}{3} = \dfrac{z+3}{2}$，方向向量$\mathbf{S}_1 = (1, 3, 2)$，过点$M_1(0, 5, -3)$。
• 直线$l_2$：
  对称式为$\dfrac{x}{1} = \dfrac{y+7}{4} = \dfrac{z-10}{5}$，方向向量$\mathbf{S}_2 = (1, 4, 5)$，过点$M_2(0, -7, 10)$。

步骤2：计算平面法向量$\mathbf{n}_1$和$\mathbf{n}_2$

• 平面$n_1$：由$\mathbf{S}_1$与$\overrightarrow{AM_1}$叉乘得到：
  $\mathbf{n}_1 = \mathbf{S}_1 \times \overrightarrow{AM_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 3 & 2 \\ 3 & 0 & 6 \end{vmatrix} = 18\mathbf{i} - 9\mathbf{k} = 9(2, 0, -1)$
• 平面$n_2$：由$\mathbf{S}_2$与$\overrightarrow{AM_2}$叉乘得到：
  $\mathbf{n}_2 = \mathbf{S}_2 \times \overrightarrow{AM_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 4 & 5 \\ 3 & -12 & 19 \end{vmatrix} = 136\mathbf{i} - 4\mathbf{j} - 24\mathbf{k} = 4(34, -1, -6)$

步骤3：求直线$l$的方向向量$\mathbf{s}$

• 方向向量$\mathbf{s}$：由$\mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2$得到：
  $\mathbf{s} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & -1 \\ 34 & -1 & -6 \end{vmatrix} = -\mathbf{i} -22\mathbf{j} -2\mathbf{k} = (1, 22, 2) \quad (\text{取反向})$

步骤4：写出直线$l$的方程

• 点向式方程：过点$A(-3, 5, -9)$，方向向量$(1, 22, 2)$，方程为：
  $\dfrac{x+3}{1} = \dfrac{y-5}{22} = \dfrac{z+9}{2}$