设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为(X,Y)试求(X,Y).

考查要点：本题主要考查二维随机变量的期望计算，需要掌握联合密度函数的积分区域确定以及积分顺序的调整。

解题核心思路：

1. 确定积分区域：根据联合密度函数非零的条件 $0 < x < y$，积分区域为 $x$ 从 $0$ 到 $+\infty$，$y$ 从 $x$ 到 $+\infty$。
2. 调整积分顺序：先对 $y$ 积分，再对 $x$ 积分，简化计算。
3. 分步积分：先计算对 $y$ 的积分，再计算对 $x$ 的积分，利用伽马函数的性质得出结果。

破题关键点：

• 正确划分积分区域，避免积分限错误。
• 灵活调整积分顺序，将二重积分转化为累次积分。
• 识别标准积分形式 $\int_{0}^{+\infty} x e^{-x} dx = 1$，直接应用结果。

步骤1：写出期望公式
根据二维随机变量的期望公式：
$E(X) = \iint_{-\infty}^{+\infty} x f(x,y) \, dx \, dy$

步骤2：确定积分区域
由于 $f(x,y) = e^{-y}$ 当且仅当 $0 < x < y$，积分区域为：
$0 \leq x < y < +\infty$

步骤3：调整积分顺序
将二重积分转换为累次积分，先对 $y$ 积分，再对 $x$ 积分：
$E(X) = \int_{x=0}^{+\infty} \int_{y=x}^{+\infty} x e^{-y} \, dy \, dx$

步骤4：计算对 $y$ 的积分
内部积分：
$\int_{y=x}^{+\infty} e^{-y} \, dy = \left[ -e^{-y} \right]_{y=x}^{+\infty} = e^{-x}$

步骤5：计算对 $x$ 的积分
代入结果后：
$E(X) = \int_{0}^{+\infty} x e^{-x} \, dx$
利用伽马函数 $\Gamma(n) = \int_{0}^{+\infty} x^{n-1} e^{-x} dx$，当 $n=2$ 时：
$\Gamma(2) = 1! = 1 \quad \Rightarrow \quad \int_{0}^{+\infty} x e^{-x} dx = 1$