求微分方程 ''-3y'+2y=x(e)^2x 的通解.

考查要点：本题主要考查二阶非齐次线性微分方程的解法，涉及齐次方程通解的求解和非齐次方程特解的构造方法。

解题核心思路：

1. 求解齐次方程：通过特征方程法得到齐次方程的通解。
2. 构造特解：根据非齐次项的形式（$x e^{2x}$），结合特征根的重数确定特解形式，代入方程后通过待定系数法求解。

破题关键点：

• 特征方程的根：确定齐次方程的通解。
• 特解形式的选择：由于非齐次项中的指数因子$e^{2x}$对应特征方程的单根，需在特解中乘以$x$以避免重复。

1. 求齐次方程的通解

齐次方程为 $y'' - 3y' + 2y = 0$，其特征方程为：
$r^2 - 3r + 2 = 0$
解得特征根 $r_1 = 1$，$r_2 = 2$，因此齐次方程的通解为：
$Y = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x}$

2. 构造非齐次方程的特解

非齐次项为 $x e^{2x}$，其中 $\lambda = 2$ 是特征方程的单根（重数 $k=1$），因此特解形式设为：
$y^* = x (b_1 x + b_0) e^{2x}$

3. 代入方程求解系数

将 $y^*$ 代入原方程，计算得：
$y^* = x (b_1 x + b_0) e^{2x}$
求导并整理后，代入方程 $y'' - 3y' + 2y = x e^{2x}$，比较系数得方程组：
$\begin{cases}2b_1 = 1 \\2b_1 + b_0 = 0\end{cases}$
解得 $b_1 = \dfrac{1}{2}$，$b_0 = -1$，因此特解为：
$y^* = x \left( \dfrac{1}{2}x - 1 \right) e^{2x}$

4. 写出通解

通解为齐次解与特解之和：
$y = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x} + x \left( \dfrac{1}{2}x - 1 \right) e^{2x}$