题目

练23.求不定积分int xln(x-2)dx.

练23.求不定积分$\int x\ln(x-2)dx$.

题目解答

答案

设 $u = \ln(x-2)$，$dv = x \, dx$，则 $du = \frac{1}{x-2} \, dx$，$v = \frac{x^2}{2}$。分部积分得： \[ \int x \ln(x-2) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x-2) - \int \frac{x^2}{2(x-2)} \, dx \] 化简被积函数： \[ \frac{x^2}{x-2} = x + 2 + \frac{4}{x-2} \] 积分得： \[ \int \frac{x^2}{x-2} \, dx = \frac{x^2}{2} + 2x + 4 \ln|x-2| + C \] 代回原式： \[ \int x \ln(x-2) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x-2) - \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{2} + 2x + 4 \ln|x-2| \right) + C \] 整理得： \[ \boxed{\left( \frac{x^2}{2} - 2 \right) \ln(x-2) - \frac{x^2}{4} - x + C} \]

解析

考查要点：本题主要考查分部积分法的应用，以及对有理函数的积分处理能力。关键在于合理选择分部积分中的$u$和$dv$，并通过代数变形简化被积函数。

解题思路：

选择分部积分的$u$和$dv$：通常选择对数函数作为$u$，多项式函数作为$dv$，因为对数函数求导后会简化。
分部积分展开：通过公式$\int u \, dv = uv - \int v \, du$展开积分。
化简剩余积分：将分母为$x-2$的分式拆分为多项式与简单分式的组合，便于逐项积分。
代回整理：将中间结果代入原式并合并同类项，得到最终答案。

分部积分法应用

设$u = \ln(x-2)$，则$du = \frac{1}{x-2} dx$；设$dv = x \, dx$，则$v = \frac{x^2}{2}$。根据分部积分公式：
$\int x \ln(x-2) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x-2) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x-2} \, dx.$

化简被积函数

将$\frac{x^2}{x-2}$分解为多项式与分式之和：
$\frac{x^2}{x-2} = x + 2 + \frac{4}{x-2}.$
因此：
$\int \frac{x^2}{x-2} \, dx = \int \left( x + 2 + \frac{4}{x-2} \right) dx.$

逐项积分

分别计算各部分积分：

$\int x \, dx = \frac{x^2}{2}$，
$\int 2 \, dx = 2x$，
$\int \frac{4}{x-2} \, dx = 4 \ln|x-2|$。

合并得：
$\int \frac{x^2}{x-2} \, dx = \frac{x^2}{2} + 2x + 4 \ln|x-2| + C.$

代回原式并整理

将结果代入分部积分公式：
$\begin{aligned}\int x \ln(x-2) \, dx &= \frac{x^2}{2} \ln(x-2) - \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{2} + 2x + 4 \ln|x-2| \right) + C \\&= \left( \frac{x^2}{2} - 2 \right) \ln(x-2) - \frac{x^2}{4} - x + C.\end{aligned}$