题目
4.讨论方程(dy)/(dx)=(y^2-1)/(2)的通过点(0,0)的解，以及通过点(ln 2,-3)的解的存在区间.
4.讨论方程$\frac{dy}{dx}=\frac{y^{2}-1}{2}$的通过点(0,0)的解，以及通过点(ln 2,-3)的解的存在区间.
题目解答
答案
解微分方程 $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - 1}{2}$，得通解：
\[
y = \frac{1 + Ce^x}{1 - Ce^x}
\]
**通过点(0,0)的解：**
代入 $x=0, y=0$，得 $C=-1$，解为：
\[
y = \frac{1 - e^x}{1 + e^x}
\]
定义域为 $(- \infty, + \infty)$。
**通过点$(\ln 2, -3)$的解：**
代入 $x=\ln 2, y=-3$，得 $C=1$，解为：
\[
y = \frac{1 + e^x}{1 - e^x}
\]
定义域为 $(0, + \infty)$。
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
\text{通过点(0,0)的解:} & y = \frac{1 - e^x}{1 + e^x}, \quad \text{存在区间:} \ (-\infty, +\infty) \\
\text{通过点(\ln 2, -3)的解:} & y = \frac{1 + e^x}{1 - e^x}, \quad \text{存在区间:} \ (0, +\infty)
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：求解微分方程
给定微分方程为 $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - 1}{2}$。这是一个可分离变量的微分方程。分离变量后，我们有：
\[ \frac{2}{y^2 - 1} dy = dx \]
步骤 2：积分求解
对两边积分，得到：
\[ \int \frac{2}{y^2 - 1} dy = \int dx \]
左边的积分可以通过部分分式分解来解决，分解后得：
\[ \int \left( \frac{1}{y-1} - \frac{1}{y+1} \right) dy = \int dx \]
积分后得到：
\[ \ln|y-1| - \ln|y+1| = x + C \]
步骤 3：化简并求通解
化简上式，得到：
\[ \ln \left| \frac{y-1}{y+1} \right| = x + C \]
取指数，得到：
\[ \left| \frac{y-1}{y+1} \right| = e^{x+C} = Ce^x \]
去掉绝对值，得到通解：
\[ \frac{y-1}{y+1} = Ce^x \]
解出 $y$，得到：
\[ y = \frac{1 + Ce^x}{1 - Ce^x} \]
步骤 4：求通过点(0,0)的解
代入 $x=0, y=0$，得 $C=-1$，解为：
\[ y = \frac{1 - e^x}{1 + e^x} \]
定义域为 $(- \infty, + \infty)$。
步骤 5：求通过点$(\ln 2, -3)$的解
代入 $x=\ln 2, y=-3$，得 $C=1$，解为：
\[ y = \frac{1 + e^x}{1 - e^x} \]
定义域为 $(0, + \infty)$。
给定微分方程为 $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - 1}{2}$。这是一个可分离变量的微分方程。分离变量后，我们有：
\[ \frac{2}{y^2 - 1} dy = dx \]
步骤 2：积分求解
对两边积分，得到：
\[ \int \frac{2}{y^2 - 1} dy = \int dx \]
左边的积分可以通过部分分式分解来解决，分解后得：
\[ \int \left( \frac{1}{y-1} - \frac{1}{y+1} \right) dy = \int dx \]
积分后得到：
\[ \ln|y-1| - \ln|y+1| = x + C \]
步骤 3：化简并求通解
化简上式，得到：
\[ \ln \left| \frac{y-1}{y+1} \right| = x + C \]
取指数，得到：
\[ \left| \frac{y-1}{y+1} \right| = e^{x+C} = Ce^x \]
去掉绝对值，得到通解：
\[ \frac{y-1}{y+1} = Ce^x \]
解出 $y$，得到：
\[ y = \frac{1 + Ce^x}{1 - Ce^x} \]
步骤 4：求通过点(0,0)的解
代入 $x=0, y=0$，得 $C=-1$，解为：
\[ y = \frac{1 - e^x}{1 + e^x} \]
定义域为 $(- \infty, + \infty)$。
步骤 5：求通过点$(\ln 2, -3)$的解
代入 $x=\ln 2, y=-3$，得 $C=1$，解为：
\[ y = \frac{1 + e^x}{1 - e^x} \]
定义域为 $(0, + \infty)$。