题目
7.单选题 设复数z=1+cos(pi)/(3)+isin(pi)/(3)，则argz=（）. A. (C) (pi)/(3); B (B.) (2pi)/(3); C. (A) -(pi)/(3); D (D.) (pi)/(6);
7.单选题 设复数$z=1+\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}$，则argz=（）.
A. (C) $\frac{\pi}{3}$; B (
B.) $\frac{2\pi}{3}$;
C. (A) $-\frac{\pi}{3}$; D (
D.) $\frac{\pi}{6}$;
A. (C) $\frac{\pi}{3}$; B (
B.) $\frac{2\pi}{3}$;
C. (A) $-\frac{\pi}{3}$; D (
D.) $\frac{\pi}{6}$;
题目解答
答案
将复数 $ z = 1 + \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} $ 转化为标准形式。已知 $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$，$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，代入得：
\[ z = 1 + \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}. \]
复数的幅角 $\arg z$ 由 $\tan^{-1}\left(\frac{\text{虚部}}{\text{实部}}\right)$ 给出，即：
\[ \arg z = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{6}. \]
由于实部和虚部均为正，复数位于第一象限，幅角为正角 $\frac{\pi}{6}$。
**答案：** $\boxed{D}$
解析
考查要点：本题主要考查复数的代数形式及其幅角的计算，涉及三角函数值的代入和反正切函数的应用。
解题核心思路：
- 将复数化为标准形式：计算实部和虚部的具体数值；
- 确定复数所在的象限：根据实部和虚部的正负判断；
- 计算幅角：利用反正切函数 $\tan^{-1}\left(\frac{\text{虚部}}{\text{实部}}\right)$，结合象限确定最终角度。
破题关键点：
- 正确代入三角函数值：$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$，$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$；
- 判断复数所在象限：实部和虚部均为正，说明位于第一象限，幅角为锐角。
-
化简复数：
$z = 1 + \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} = 1 + \frac{1}{2} + i\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} + i\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$
实部为 $\frac{3}{2}$，虚部为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$。 -
计算幅角：
$\tan\theta = \frac{\text{虚部}}{\text{实部}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
因 $\tan\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，故 $\theta = \frac{\pi}{6}$。 -
确定象限：
实部和虚部均为正，复数位于第一象限，因此幅角为 $\frac{\pi}{6}$。