题目
设f(x)连续,且 (x)=x+2(int )_(0)^1f(t)dt, 则 f(x)= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义积分常数
设 $A={\int }_{0}^{1}f(t)dt$，则原方程可以写为 $f(x)=x+2A$。
步骤 2：对原方程两边在区间[0,1]上积分
对 $f(x)=x+2A$ 在区间[0,1]上积分，得到 $A={\int }_{0}^{1}f(x)dx={\int }_{0}^{1}(x+2A)dx$。
步骤 3：计算积分
计算积分 ${\int }_{0}^{1}(x+2A)dx$，得到 $A=\dfrac {1}{2}+2A$。
步骤 4：解方程求A
解方程 $A=\dfrac {1}{2}+2A$，得到 $A=-\dfrac {1}{2}$。
步骤 5：代入A求f(x)
将 $A=-\dfrac {1}{2}$ 代入 $f(x)=x+2A$，得到 $f(x)=x-1$。
设 $A={\int }_{0}^{1}f(t)dt$，则原方程可以写为 $f(x)=x+2A$。
步骤 2：对原方程两边在区间[0,1]上积分
对 $f(x)=x+2A$ 在区间[0,1]上积分，得到 $A={\int }_{0}^{1}f(x)dx={\int }_{0}^{1}(x+2A)dx$。
步骤 3：计算积分
计算积分 ${\int }_{0}^{1}(x+2A)dx$，得到 $A=\dfrac {1}{2}+2A$。
步骤 4：解方程求A
解方程 $A=\dfrac {1}{2}+2A$，得到 $A=-\dfrac {1}{2}$。
步骤 5：代入A求f(x)
将 $A=-\dfrac {1}{2}$ 代入 $f(x)=x+2A$，得到 $f(x)=x-1$。