【例1.11】(2010,数二、三)设A,B为3阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A^-1+B|=2，则|A+B^-1|=____.

考查要点：本题主要考查矩阵行列式的性质，特别是逆矩阵、矩阵乘法与加法的行列式关系，以及利用矩阵分解简化计算的能力。

解题核心思路：

1. 分解关键表达式：将复杂的矩阵表达式（如$A^{-1} + B$和$A + B^{-1}$）分解为两个矩阵的乘积形式，利用行列式的乘积性质简化计算。
2. 关联已知条件：通过分解后的形式，将已知的行列式值（如$|A^{-1} + B| = 2$）与目标表达式（$|A + B^{-1}|$）建立联系。
3. 利用行列式对称性：通过分析$AB$与$BA$的行列式关系，建立中间等式，最终求解目标行列式。

破题关键点：

• 分解技巧：将$A^{-1} + B$分解为$A^{-1}(A + AB)$，将$A + B^{-1}$分解为$B^{-1}(BA + E)$。
• 行列式性质：$|AB| = |BA|$，以及$|AB + E| = |BA + E|$（基于特征值的对称性）。

步骤1：分解$A^{-1} + B$并代入已知条件

将$A^{-1} + B$分解为：
$A^{-1} + B = A^{-1}(E + AB)$
根据行列式的乘积性质：
$|A^{-1} + B| = |A^{-1}| \cdot |E + AB| = \frac{1}{|A|} \cdot |E + AB|$
代入已知$|A^{-1} + B| = 2$和$|A| = 3$：
$2 = \frac{1}{3} \cdot |E + AB| \implies |E + AB| = 6$

步骤2：分解$A + B^{-1}$并关联已知结果

将$A + B^{-1}$分解为：
$A + B^{-1} = B^{-1}(BA + E)$
同理，行列式为：
$|A + B^{-1}| = |B^{-1}| \cdot |BA + E| = \frac{1}{|B|} \cdot |BA + E|$
代入$|B| = 2$，得：
$|A + B^{-1}| = \frac{1}{2} \cdot |BA + E|$

步骤3：利用$AB$与$BA$的行列式对称性

由于$AB$与$BA$的非零特征值相同，故：
$|BA + E| = |AB + E| = 6$
代入上式：
$|A + B^{-1}| = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$