已知调和函数 (x:y)=2(x)^2-2(y)^2+x ,求函数v(x,y),-|||-使函数 (z)=u(x,y)+i(x,y) 解析且满足 f(-1)=1+2i e ()A、已知调和函数 (x:y)=2(x)^2-2(y)^2+x ,求函数v(x,y),-|||-使函数 (z)=u(x,y)+i(x,y) 解析且满足 f(-1)=1+2i e ()B、已知调和函数 (x:y)=2(x)^2-2(y)^2+x ,求函数v(x,y),-|||-使函数 (z)=u(x,y)+i(x,y) 解析且满足 f(-1)=1+2i e ()C、已知调和函数 (x:y)=2(x)^2-2(y)^2+x ,求函数v(x,y),-|||-使函数 (z)=u(x,y)+i(x,y) 解析且满足 f(-1)=1+2i e ()D、已知调和函数 (x:y)=2(x)^2-2(y)^2+x ,求函数v(x,y),-|||-使函数 (z)=u(x,y)+i(x,y) 解析且满足 f(-1)=1+2i e ()

步骤 1：确定调和函数的性质
调和函数 $u(x,y)$ 满足拉普拉斯方程 $\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$。给定的函数 $u(x,y) = 2x^2 - 2y^2 + x$，我们首先验证它是否满足拉普拉斯方程。
步骤 2：计算拉普拉斯方程
计算 $u(x,y)$ 的二阶偏导数：
$$
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 4, \quad \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -4
$$
因此，$\Delta u = 4 - 4 = 0$，所以 $u(x,y)$ 是调和函数。
步骤 3：确定 $v(x,y)$ 的形式
根据柯西-黎曼方程，$u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 满足：
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}
$$
计算 $u(x,y)$ 的偏导数：
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = 4x + 1, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -4y
$$
因此，$v(x,y)$ 的偏导数为：
$$
\frac{\partial v}{\partial y} = 4x + 1, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = 4y
$$
步骤 4：积分求解 $v(x,y)$
对 $\frac{\partial v}{\partial y} = 4x + 1$ 积分，得到：
$$
v(x,y) = 4xy + y + g(x)
$$
其中 $g(x)$ 是关于 $x$ 的函数。对 $\frac{\partial v}{\partial x} = 4y$ 积分，得到：
$$
v(x,y) = 4xy + h(y)
$$
其中 $h(y)$ 是关于 $y$ 的函数。结合两个结果，得到：
$$
v(x,y) = 4xy + y + C
$$
其中 $C$ 是常数。
步骤 5：确定常数 $C$
根据条件 $f(-1) = 1 + 2i$，代入 $x = -1$，$y = 0$，得到：
$$
f(-1) = u(-1,0) + iv(-1,0) = 2(-1)^2 - 2(0)^2 + (-1) + i(4(-1)(0) + 0 + C) = 1 + 2i
$$
解得 $C = 2$。