题目
求lim _(arrow 0)dfrac (x-sin x)({(arctan x))^3}=lim _(arrow 0)dfrac (x-sin x)({(arctan x))^3}=lim _(arrow 0)dfrac (x-sin x)({(arctan x))^3}=lim _(arrow 0)dfrac (x-sin x)({(arctan x))^3}=lim _(arrow 0)dfrac (x-sin x)({(arctan x))^3}=lim _(arrow 0)dfrac (x-sin x)({(arctan x))^3}=
求
题目解答
答案
由重要极限
可得：
因为极限
是
型，
所以由洛必达法则可得：
又因为极限
是型，
所以
,
再次利用洛必达法则得：
∴极限
,故选
解析
步骤 1：利用重要极限
由重要极限$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x}{\arctan x}=1$，可以将原极限中的$\arctan x$替换为$x$，从而简化问题。
步骤 2：应用洛必达法则
由于$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x-\sin x}{{x}^{3}}$是$\dfrac{0}{0}$型的极限，可以应用洛必达法则，即对分子和分母分别求导，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1-\cos x}{3{x}^{2}}$。
步骤 3：再次应用洛必达法则
由于$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1-\cos x}{3{x}^{2}}$仍然是$\dfrac{0}{0}$型的极限，再次应用洛必达法则，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x}{6x}$。
步骤 4：计算最终极限
由于$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x}{6x}$是$\dfrac{0}{0}$型的极限，再次应用洛必达法则，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\cos x}{6}=\dfrac {1}{6}$。
由重要极限$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x}{\arctan x}=1$，可以将原极限中的$\arctan x$替换为$x$，从而简化问题。
步骤 2：应用洛必达法则
由于$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x-\sin x}{{x}^{3}}$是$\dfrac{0}{0}$型的极限，可以应用洛必达法则，即对分子和分母分别求导，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1-\cos x}{3{x}^{2}}$。
步骤 3：再次应用洛必达法则
由于$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1-\cos x}{3{x}^{2}}$仍然是$\dfrac{0}{0}$型的极限，再次应用洛必达法则，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x}{6x}$。
步骤 4：计算最终极限
由于$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x}{6x}$是$\dfrac{0}{0}$型的极限，再次应用洛必达法则，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\cos x}{6}=\dfrac {1}{6}$。