题目
设 f(z)= cos z，则下列命题中，不正确的是(）。A. f(z) 在复平面上处处解析B. f(z) 以 2pi 为周期C. f(z)= (e^iz - e^-iz)/(2)D. |f'(z)| 是无界的
设 $f(z)= \cos z$，则下列命题中，不正确的是(）。
A. $f(z)$ 在复平面上处处解析
B. $f(z)$ 以 $2\pi$ 为周期
C. $f(z)= \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2}$
D. $|f'(z)|$ 是无界的
题目解答
答案
C. $f(z)= \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2}$
解析
步骤 1：分析选项A
余弦函数 $f(z) = \cos z$ 是一个整函数，意味着它在复平面上处处解析。这是复分析中一个众所周知的事实。因此，这个命题是正确的。
步骤 2：分析选项B
余弦函数的周期为 $2\pi$，这意味着对于所有 $z$，有 $\cos(z + 2\pi) = \cos z$。这是余弦函数的一个基本性质。因此，这个命题是正确的。
步骤 3：分析选项C
余弦函数的指数形式由 $\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$ 给出。命题中给出的表达式是 $\frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2}$，这是正弦函数的指数形式，即 $\sin z$。因此，这个命题是不正确的。
步骤 4：分析选项D
为了确定 $|f'(z)|$ 是否无界，考虑 $z = x + iy$，其中 $x$ 和 $y$ 是实数。那么，$f'(z) = -\sin z$。由于 $\sin z$ 的模长可以变得任意大，$|f'(z)|$ 也是无界的。因此，这个命题是正确的。
余弦函数 $f(z) = \cos z$ 是一个整函数，意味着它在复平面上处处解析。这是复分析中一个众所周知的事实。因此，这个命题是正确的。
步骤 2：分析选项B
余弦函数的周期为 $2\pi$，这意味着对于所有 $z$，有 $\cos(z + 2\pi) = \cos z$。这是余弦函数的一个基本性质。因此，这个命题是正确的。
步骤 3：分析选项C
余弦函数的指数形式由 $\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$ 给出。命题中给出的表达式是 $\frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2}$，这是正弦函数的指数形式，即 $\sin z$。因此，这个命题是不正确的。
步骤 4：分析选项D
为了确定 $|f'(z)|$ 是否无界，考虑 $z = x + iy$，其中 $x$ 和 $y$ 是实数。那么，$f'(z) = -\sin z$。由于 $\sin z$ 的模长可以变得任意大，$|f'(z)|$ 也是无界的。因此，这个命题是正确的。