设f(x)在[ 0 , 1 ]上有连续导数,在( 0 , 1 )内二阶可导,且 f ( 0 ) = f ( 1 ) 试证存在in (0,1) ,使in (0,1)。

考查要点：本题主要考查罗尔定理的应用及辅助函数的构造能力。关键在于通过两次应用罗尔定理，结合导数运算，推导出所需的微分方程关系。

解题思路：

1. 首次应用罗尔定理：利用已知条件$f(0)=f(1)$，直接得到存在一点$c \in (0,1)$，使得$f'(c)=0$。
2. 构造辅助函数：定义$F(x)=f'(x)(1-x)^2$，在区间$[c,1]$上，$F(c)=0$且$F(1)=0$，再次应用罗尔定理，得到$F'(\xi)=0$。
3. 导数运算与化简：通过计算$F'(\xi)=0$，推导出$f''(\xi)=\dfrac{2f'(\xi)}{1-\xi}$。

破题关键：两次应用罗尔定理，通过构造合适的辅助函数，将二阶导数与一阶导数的关系转化为导数为零的条件。

步骤1：应用罗尔定理于$f(x)$

由题设$f(0)=f(1)$，且$f(x)$在$[0,1]$上连续可导，根据罗尔定理，存在$c \in (0,1)$，使得：
$f'(c)=0.$

步骤2：构造辅助函数$F(x)$

定义函数：
$F(x) = f'(x)(1-x)^2.$
在区间$[c,1]$上：

• 端点值相等：$F(c)=f'(c)(1-c)^2=0$（因$f'(c)=0$），且$F(1)=f'(1) \cdot 0=0$；
• 可导性：$F(x)$在$[c,1]$上连续，在$(c,1)$内可导。

因此，$F(x)$满足罗尔定理的条件。

步骤3：再次应用罗尔定理于$F(x)$

根据罗尔定理，存在$\xi \in (c,1) \subset (0,1)$，使得：
$F'(\xi) = 0.$

步骤4：计算$F'(\xi)$并化简

计算$F'(x)$：
$\begin{aligned}F'(x) &= \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ f'(x)(1-x)^2 \right] \\&= f''(x)(1-x)^2 + f'(x) \cdot \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( (1-x)^2 \right) \\&= f''(x)(1-x)^2 - 2f'(x)(1-x).\end{aligned}$
令$F'(\xi)=0$，得：
$f''(\xi)(1-\xi)^2 - 2f'(\xi)(1-\xi) = 0.$
两边同除以$(1-\xi)$（因$\xi \in (0,1)$，故$1-\xi \neq 0$），得：
$f''(\xi) = \dfrac{2f'(\xi)}{1-\xi}.$