求 y = (e^2x)/(x) 的单调区间和凹凸区间
求 $y = \frac{e^{2x}}{x}$ 的单调区间和凹凸区间
题目解答
答案
我们来分析函数 $ y = \frac{e^{2x}}{x} $ 的单调区间和凹凸区间。
一、定义域
首先，函数 $ y = \frac{e^{2x}}{x} $ 是由两个基本函数构成的复合函数。其中：
- $ e^{2x} $ 在 $ \mathbb{R} $ 上都有定义；
- 分母 $ x $ 不能为 0。
因此，函数的定义域为：
$x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$
二、单调性分析（求导）
我们求一阶导数 $ y' $，以判断函数的单调性。
设：
$y = \frac{e^{2x}}{x}$
使用商法则：
$y' = \frac{(e^{2x})' \cdot x - e^{2x} \cdot (x)'}{x^2}
= \frac{2e^{2x} \cdot x - e^{2x} \cdot 1}{x^2}
= \frac{e^{2x}(2x - 1)}{x^2}$
1. 令 $ y' = 0 $，求临界点：
$\frac{e^{2x}(2x - 1)}{x^2} = 0$
由于 $ e^{2x} > 0 $，$ x^2 > 0 $（在定义域内），所以：
$2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$
这个点是临界点。
2. 分析单调性：
我们考虑 $ y' $ 的符号：
$y' = \frac{e^{2x}(2x - 1)}{x^2}$
- 当 $ x < 0 $，$ x^2 > 0 $，$ e^{2x} > 0 $，但 $ 2x - 1 < 0 $，所以 $ y' < 0 $
- 当 $ 0 < x < \frac{1}{2} $，$ 2x - 1 < 0 $，所以 $ y' < 0 $
- 当 $ x > \frac{1}{2} $，$ 2x - 1 > 0 $，所以 $ y' > 0 $
因此：
- 在区间 $ (-\infty, 0) $：函数单调递减
- 在区间 $ (0, \frac{1}{2}) $：函数单调递减
- 在区间 $ (\frac{1}{2}, +\infty) $：函数单调递增
> 注意：在 $ x = 0 $ 处函数无定义，不能判断单调性。
三、凹凸性分析（二阶导数）
我们继续求二阶导数 $ y'' $。
我们已经知道：
$y' = \frac{e^{2x}(2x - 1)}{x^2}$
求导：
设：
$y' = \frac{e^{2x}(2x - 1)}{x^2}$
使用商法则：
令：
- 分子：$ u = e^{2x}(2x - 1) $
- 分母：$ v = x^2 $
我们先求 $ u' $：
$u = e^{2x}(2x - 1) \Rightarrow u' = \frac{d}{dx} [e^{2x}(2x - 1)] = e^{2x} \cdot 2(2x - 1) + e^{2x} \cdot 2 = e^{2x}(4x - 2 + 2) = e^{2x}(4x)$
分母导数：
$v = x^2 \Rightarrow v' = 2x$
代入商法则：
$y'' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
= \frac{e^{2x}(4x) \cdot x^2 - e^{2x}(2x - 1) \cdot 2x}{x^4}$
提取公共因子 $ e^{2x} $：
$y'' = \frac{e^{2x} \left[4x^3 - 2x(2x - 1)\right]}{x^4} = \frac{e^{2x} \left[4x^3 - 4x^2 + 2x\right]}{x^4}$
化简括号内：
$4x^3 - 4x^2 + 2x = 2x(2x^2 - 2x + 1)$
所以：
$y'' = \frac{2e^{2x}x(2x^2 - 2x + 1)}{x^4} = \frac{2e^{2x}(2x^2 - 2x + 1)}{x^3}$
1. 令 $ y'' = 0 $，求凹凸性临界点：
我们分析分子：
$2x^2 - 2x + 1 = 0 \Rightarrow \text{判别式 } D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4 < 0$
所以这个二次式无实根，且开口向上，恒正。
所以 $ y'' $ 的符号取决于 $ x^3 $ 的符号：
- 当 $ x > 0 $，$ x^3 > 0 $，所以 $ y'' > 0 $，函数凹
- 当 $ x < 0 $，$ x^3 < 0 $，所以 $ y'' < 0 $，函数凸
四、结论
单调区间：
- 在 $ (-\infty, 0) $：单调递减
- 在 $ (0, \frac{1}{2}) $：单调递减
- 在 $ (\frac{1}{2}, +\infty) $：单调递增
凹凸区间：
- 在 $ (-\infty, 0) $：凸
- 在 $ (0, +\infty) $：凹
✅ 最终答案：
- 单调递增区间：$ \boxed{(\frac{1}{2}, +\infty)} $
- 单调递减区间：$ \boxed{(-\infty, 0) \cup (0, \frac{1}{2})} $
- 凹区间：$ \boxed{(0, +\infty)} $
- 凸区间：$ \boxed{(-\infty, 0)} $
解析
考查要点：本题主要考查利用导数确定函数的单调区间和凹凸区间，涉及一阶导数判断单调性、二阶导数判断凹凸性。
解题核心思路：
- 确定定义域：分母不能为0，故定义域为$(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$。
- 求一阶导数：通过商法则求导，分析导数的符号变化，确定单调区间。
- 求二阶导数：进一步分析二阶导数的符号，判断凹凸区间。
破题关键点：
- 一阶导数的符号：分子中的$2x-1$决定导数的正负，结合定义域分区间讨论。
- 二阶导数的化简：通过因式分解和判别式判断二次项的符号，简化分析过程。
一、定义域
函数$y = \frac{e^{2x}}{x}$的定义域为$x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$，因分母$x \neq 0$。
二、单调性分析
- 求一阶导数：
$y' = \frac{(e^{2x})' \cdot x - e^{2x} \cdot x'}{x^2} = \frac{2e^{2x} \cdot x - e^{2x}}{x^2} = \frac{e^{2x}(2x - 1)}{x^2}$ - 求临界点：
令$y' = 0$，因$e^{2x} > 0$且$x^2 > 0$，解得$2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$。 - 分析导数符号：
- 当$x < 0$时，$2x - 1 < 0$，故$y' < 0$，函数单调递减。
- 当$0 < x < \frac{1}{2}$时，$2x - 1 < 0$，故$y' < 0$，函数单调递减。
- 当$x > \frac{1}{2}$时，$2x - 1 > 0$，故$y' > 0$，函数单调递增。
三、凹凸性分析
- 求二阶导数：
$y'' = \frac{2e^{2x}(2x^2 - 2x + 1)}{x^3}$
其中分子$2x^2 - 2x + 1$的判别式$\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = -4 < 0$，故该二次式恒正。 - 分析二阶导数符号：
- 当$x > 0$时，$x^3 > 0$，故$y'' > 0$，函数凹。
- 当$x < 0$时，$x^3 < 0$，故$y'' < 0$，函数凸。