题目
8、定积分 (int )_(0)^1(x+1)(e)^(x^2+2x)dx= __ 。-|||-__
题目解答
答案
解析
步骤 1：识别积分形式
观察积分 ${\int }_{0}^{1}(x+1){e}^{{x}^{2}+2x}dx$，注意到 $(x+1)$ 是 ${x}^{2}+2x$ 的导数的一半，即 $(x+1) = \frac{1}{2} \cdot (2x+2)$。这提示我们可以通过换元法简化积分。
步骤 2：换元法
设 $u = {x}^{2}+2x$，则 $du = (2x+2)dx = 2(x+1)dx$。因此，$(x+1)dx = \frac{1}{2}du$。将原积分中的 $(x+1)dx$ 替换为 $\frac{1}{2}du$，得到 ${\int }_{0}^{1}\frac{1}{2}{e}^{u}du$。
步骤 3：计算积分
现在积分变为 ${\int }_{0}^{1}\frac{1}{2}{e}^{u}du$。由于 $u = {x}^{2}+2x$，当 $x=0$ 时，$u=0$；当 $x=1$ 时，$u=3$。因此，积分变为 ${\int }_{0}^{3}\frac{1}{2}{e}^{u}du$。计算这个积分，得到 $\frac{1}{2}{e}^{u}{\int }_{0}^{3}du = \frac{1}{2}({e}^{3}-{e}^{0}) = \frac{1}{2}({e}^{3}-1)$。
观察积分 ${\int }_{0}^{1}(x+1){e}^{{x}^{2}+2x}dx$，注意到 $(x+1)$ 是 ${x}^{2}+2x$ 的导数的一半，即 $(x+1) = \frac{1}{2} \cdot (2x+2)$。这提示我们可以通过换元法简化积分。
步骤 2：换元法
设 $u = {x}^{2}+2x$，则 $du = (2x+2)dx = 2(x+1)dx$。因此，$(x+1)dx = \frac{1}{2}du$。将原积分中的 $(x+1)dx$ 替换为 $\frac{1}{2}du$，得到 ${\int }_{0}^{1}\frac{1}{2}{e}^{u}du$。
步骤 3：计算积分
现在积分变为 ${\int }_{0}^{1}\frac{1}{2}{e}^{u}du$。由于 $u = {x}^{2}+2x$，当 $x=0$ 时，$u=0$；当 $x=1$ 时，$u=3$。因此，积分变为 ${\int }_{0}^{3}\frac{1}{2}{e}^{u}du$。计算这个积分，得到 $\frac{1}{2}{e}^{u}{\int }_{0}^{3}du = \frac{1}{2}({e}^{3}-{e}^{0}) = \frac{1}{2}({e}^{3}-1)$。