已知曲线 L: x^2 + y^2 = a^2 为逆时针方向，则 oint_(L) ((x+y)dx - (x-y)dy)/(x^2 + y^2) = (). A. -3piB. -2piC. -4piD. -pi

为了求解曲线积分 $\oint_{L} \frac{(x+y)dx-(x-y)dy}{x^2+y^2}$，其中 $L$ 是逆时针方向的圆 $x^2 + y^2 = a^2$，我们可以使用格林公式。格林公式指出，对于一个正向、分段光滑、简单闭曲线 $C$ 和一个平面区域 $D$，如果 $P(x, y)$ 和 $Q(x, y)$ 在 $D$ 上有一阶连续偏导数，那么 \[ \oint_{C} (P \, dx + Q \, dy) = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA. \] 在本问题中，我们有 $P(x, y) = \frac{x+y}{x^2+y^2}$ 和 $Q(x, y) = -\frac{x-y}{x^2+y^2}$。首先，我们需要计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$。 \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( -\frac{x-y}{x^2+y^2} \right) = -\frac{(x^2+y^2) - (x-y) \cdot 2x}{(x^2+y^2)^2} = -\frac{x^2 + y^2 - 2x^2 + 2xy}{(x^2+y^2)^2} = -\frac{-x^2 + 2xy + y^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x^2 - 2xy - y^2}{(x^2+y^2)^2}, \] \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{x+y}{x^2+y^2} \right) = \frac{(x^2+y^2) - (x+y) \cdot 2y}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x^2 + y^2 - 2xy - 2y^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x^2 - 2xy - y^2}{(x^2+y^2)^2}. \] 我们发现 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$，因此 \[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0. \] 根据格林公式，我们有 \[ \oint_{L} \frac{(x+y)dx-(x-y)dy}{x^2+y^2} = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA = \iint_{D} 0 \, dA = 0, \] 但这个结果只在 $P$ 和 $Q$ 的偏导数在 $D$ 上连续时成立。在本问题中，$P$ 和 $Q$ 在原点 $(0,0)$ 处没有定义，所以格林公式不能直接应用到整个区域 $D$。 Instead, 我们可以使用参数法来计算这个曲线积分。 将圆 $L$ 参数化为 $x = a \cos \theta$，$y = a \sin \theta$，其中 $0 \leq \theta \leq 2\pi$。则 $dx = -a \sin \theta \, d\theta$ 和 $dy = a \cos \theta \, d\theta$。代入曲线积分，我们得到 \[ \oint_{L} \frac{(x+y)dx-(x-y)dy}{x^2+y^2} = \int_{0}^{2\pi} \frac{(a \cos \theta + a \sin \theta)(-a \sin \theta) - (a \cos \theta - a \sin \theta)(a \cos \theta)}{a^2} \, d\theta. \] 化简被积函数，我们有 \[ \frac{(a \cos \theta + a \sin \theta)(-a \sin \theta) - (a \cos \theta - a \sin \theta)(a \cos \theta)}{a^2} = \frac{-a^2 \cos \theta \sin \theta - a^2 \sin^2 \theta - a^2 \cos^2 \theta + a^2 \sin \theta \cos \theta}{a^2} = \frac{-a^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)}{a^2} = -1. \] 因此，曲线积分变为 \[ \int_{0}^{2\pi} -1 \, d\theta = -\int_{0}^{2\pi} 1 \, d\theta = -2\pi. \] 所以，答案是 $\boxed{-2\pi}$。正确选项是 $\boxed{B}$。