题目
13.(本题满分10分)设 _(1)=2, _(n+1)=dfrac ({{x)_(n)}^2}(1+{x)_(n)} n=1,2,···-|||-(1)证明数列(xn)收敛,并求limxn;(2)求-|||-lim _(narrow infty )(dfrac ({x)_(2)}({x)_(1)}+dfrac ({x)_(3)}({x)_(2)}+... +dfrac ({x)_(n+1)}({x)_(n)})
题目解答
答案
解析
步骤 1：证明数列{xn}收敛
首先，我们证明数列{xn}是单调递减的。由 ${x}_{n+1}=\dfrac {{{x}_{n}}^{2}}{1+{x}_{n}}$ 可得：
${x}_{n+1}-{x}_{n}=\dfrac {{{x}_{n}}^{2}}{1+{x}_{n}}-{x}_{n}=\dfrac {{{x}_{n}}^{2}-{x}_{n}-{x}_{n}^{2}}{1+{x}_{n}}=-\dfrac {{x}_{n}}{1+{x}_{n}}$
由于 ${x}_{n} > 0$，所以 ${x}_{n+1}-{x}_{n} < 0$，即 ${x}_{n+1} < {x}_{n}$，因此数列{xn}是单调递减的。
其次，我们证明数列{xn}是有下界的。由于 ${x}_{n} > 0$，所以 ${x}_{n+1}=\dfrac {{{x}_{n}}^{2}}{1+{x}_{n}} > 0$，因此数列{xn}是有下界的。
综上所述，数列{xn}是单调递减且有下界的，因此数列{xn}收敛。
步骤 2：求 $\lim _{n\rightarrow \infty }{x}_{n}$
设 $\lim _{n\rightarrow \infty }{x}_{n}=a$，则有：
$a=\dfrac {{a}^{2}}{1+a}$
解得 $a=0$，因此 $\lim _{n\rightarrow \infty }{x}_{n}=0$。
步骤 3：求 $\lim _{n\rightarrow \infty }(\dfrac {{x}_{2}}{{x}_{1}}+\dfrac {{x}_{3}}{{x}_{2}}+\cdots +\dfrac {{x}_{n+1}}{{x}_{n}})$
首先，我们求出 $\dfrac {{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$ 的表达式：
$\dfrac {{x}_{n+1}}{{x}_{n}}=\dfrac {\dfrac {{{x}_{n}}^{2}}{1+{x}_{n}}}{{x}_{n}}=\dfrac {{x}_{n}}{1+{x}_{n}}$
因此，$\dfrac {{x}_{2}}{{x}_{1}}+\dfrac {{x}_{3}}{{x}_{2}}+\cdots +\dfrac {{x}_{n+1}}{{x}_{n}}=\dfrac {{x}_{1}}{1+{x}_{1}}+\dfrac {{x}_{2}}{1+{x}_{2}}+\cdots +\dfrac {{x}_{n}}{1+{x}_{n}}$
由于 $\lim _{n\rightarrow \infty }{x}_{n}=0$，所以 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{x}_{n}}{1+{x}_{n}}=0$，因此 $\lim _{n\rightarrow \infty }(\dfrac {{x}_{2}}{{x}_{1}}+\dfrac {{x}_{3}}{{x}_{2}}+\cdots +\dfrac {{x}_{n+1}}{{x}_{n}})=0$。
首先，我们证明数列{xn}是单调递减的。由 ${x}_{n+1}=\dfrac {{{x}_{n}}^{2}}{1+{x}_{n}}$ 可得：
${x}_{n+1}-{x}_{n}=\dfrac {{{x}_{n}}^{2}}{1+{x}_{n}}-{x}_{n}=\dfrac {{{x}_{n}}^{2}-{x}_{n}-{x}_{n}^{2}}{1+{x}_{n}}=-\dfrac {{x}_{n}}{1+{x}_{n}}$
由于 ${x}_{n} > 0$，所以 ${x}_{n+1}-{x}_{n} < 0$，即 ${x}_{n+1} < {x}_{n}$，因此数列{xn}是单调递减的。
其次，我们证明数列{xn}是有下界的。由于 ${x}_{n} > 0$，所以 ${x}_{n+1}=\dfrac {{{x}_{n}}^{2}}{1+{x}_{n}} > 0$，因此数列{xn}是有下界的。
综上所述，数列{xn}是单调递减且有下界的，因此数列{xn}收敛。
步骤 2：求 $\lim _{n\rightarrow \infty }{x}_{n}$
设 $\lim _{n\rightarrow \infty }{x}_{n}=a$，则有：
$a=\dfrac {{a}^{2}}{1+a}$
解得 $a=0$，因此 $\lim _{n\rightarrow \infty }{x}_{n}=0$。
步骤 3：求 $\lim _{n\rightarrow \infty }(\dfrac {{x}_{2}}{{x}_{1}}+\dfrac {{x}_{3}}{{x}_{2}}+\cdots +\dfrac {{x}_{n+1}}{{x}_{n}})$
首先，我们求出 $\dfrac {{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$ 的表达式：
$\dfrac {{x}_{n+1}}{{x}_{n}}=\dfrac {\dfrac {{{x}_{n}}^{2}}{1+{x}_{n}}}{{x}_{n}}=\dfrac {{x}_{n}}{1+{x}_{n}}$
因此，$\dfrac {{x}_{2}}{{x}_{1}}+\dfrac {{x}_{3}}{{x}_{2}}+\cdots +\dfrac {{x}_{n+1}}{{x}_{n}}=\dfrac {{x}_{1}}{1+{x}_{1}}+\dfrac {{x}_{2}}{1+{x}_{2}}+\cdots +\dfrac {{x}_{n}}{1+{x}_{n}}$
由于 $\lim _{n\rightarrow \infty }{x}_{n}=0$，所以 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{x}_{n}}{1+{x}_{n}}=0$，因此 $\lim _{n\rightarrow \infty }(\dfrac {{x}_{2}}{{x}_{1}}+\dfrac {{x}_{3}}{{x}_{2}}+\cdots +\dfrac {{x}_{n+1}}{{x}_{n}})=0$。