题目

单选题（共20题，100.0分）设A是s×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中含t个解向量，则齐次线性方程组20.（5.0分）A^Tx=0的基础解系中向量的个数为（）.A t;B n-s-t;C s+t-n;D t+n-s.

单选题（共20题，100.0分） 设A是s×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中含t个解向量，则齐次线性方程组 20.（5.0分）$A^{T}x=0$的基础解系中向量的个数为（）. A t; B n-s-t; C s+t-n; D t+n-s.

题目解答

答案

设 $A$ 为 $s \times n$ 矩阵，齐次方程组 $Ax=0$ 的基础解系含 $t$ 个解向量。根据秩-零化度定理，有：
$n - \text{rank}(A) = t \implies \text{rank}(A) = n - t.$
由于 $\text{rank}(A^T) = \text{rank}(A)$，转置矩阵 $A^T$ 的秩也是 $n - t$。对于方程组 $A^T x = 0$，解空间维数为：
$s - \text{rank}(A^T) = s - (n - t) = s + t - n.$
因此，基础解系中向量个数为 $s + t - n$，对应选项 C。

答案： $\boxed{C}$

解析

本题考查知识点为矩阵的秩、转置矩阵的秩以及齐次线性方程组基础解系所含向量个数与矩阵秩的关系，解题思路是先根据已知条件求出矩阵$A$的秩，再利用转置矩阵秩的性质得到矩阵$A^T$的秩，最后根据齐次线性方程组基础解系所含向量个数与矩阵秩的关系求出$A^T x = 0$的基础解系中向量的个数。

  1. 求矩阵$A$的秩：
    已知$A$是$s\times n$矩阵，齐次线性方程组$Ax = 0$的基础解系中含$t$个解向量。
    根据秩 - 零化度定理，对于$s\times n$矩阵$A$，齐次线性方程组$Ax = 0$的解空间的维数（即基础解系中向量的个数）等于$n - \text{rank}(A)$，所以有$n - \text{rank}(A) = t$。
    移项可得$\text{rank}(A)=n - t$。
  2. 求矩阵$A^T$的秩：
    根据矩阵转置的性质，矩阵$A$和它的转置矩阵$A^T$的秩相等，即$\text{rank}(A^T)=\text{rank}(A)$。
    由步骤1可知$\text{rank}(A)=n - t$，所以$\text{rank}(A^T)=n - t$。
  3. 求$A^T x = 0$的基础解系中向量的个数：
    对于$n\times s$矩阵$A^T$，齐次线性方程组$A^T x = 0$的解空间的维数（即基础解系中向量的个数）等于$s - \text{rank}(A^T)$。
    将$\text{rank}(A^T)=n - t$代入可得：$s - \text{rank}(A^T)=s-(n - t)$。
    去括号得$s-(n - t)=s - n + t=s + t - n$。