题目
已知粒子在无限深势阱中运动，其波函数为：(x)=sqrt (2/a)sin (npi x/a)(0leqslant xleqslant a)求：当(x)=sqrt (2/a)sin (npi x/a)(0leqslant xleqslant a)时发现粒子几率最大的位置。
已知粒子在无限深势阱中运动，其波函数为：
求：当
时发现粒子几率最大的位置。
题目解答
答案
1、将代入波函数：
2、计算几率密度：
3、为了找到几率密度的最大值，需要对
进行分析。在
的范围内最大值为1，发生在
（
为整数）。
4、在内，
时，
。
5、因此，几率密度最大的位置为。
解析
步骤 1：将I=u代入波函数
将I=u代入波函数$g(x)=\sqrt {2/a}\sin (n\pi x/a)$，得到：
$y(x)=\sqrt {\dfrac {2}{a}}\sin (\dfrac {\pi x}{a})$
步骤 2：计算几率密度
几率密度由波函数的模平方给出，因此：
${|\varphi |x||}^{2}={(\sqrt {\dfrac {2}{a}}\sin (\dfrac {\pi x}{a}))}^{2}$
$=\dfrac {2}{a}{\sin }^{2}(\dfrac {\pi x}{a})$
步骤 3：分析${\sin }^{2}(\dfrac {\pi x}{a})$的最大值
${\sin }^{2}(\dfrac {\pi x}{a})$在$0\leqslant x\leqslant a$的范围内最大值为1，发生在$\dfrac {\pi x}{a}=\dfrac {\pi }{2}+k\pi $（k为整数）。
步骤 4：确定几率密度最大值的位置
在$0\leqslant x\leqslant a$内，当$\dfrac {\pi x}{a}=\dfrac {\pi }{2}$时，${\sin }^{2}(\dfrac {\pi x}{a})$取最大值1，因此几率密度最大值的位置为：
$\dfrac {\pi x}{a}=\dfrac {\pi }{2}$
解得：
$x=\dfrac {a}{2}$
将I=u代入波函数$g(x)=\sqrt {2/a}\sin (n\pi x/a)$，得到：
$y(x)=\sqrt {\dfrac {2}{a}}\sin (\dfrac {\pi x}{a})$
步骤 2：计算几率密度
几率密度由波函数的模平方给出，因此：
${|\varphi |x||}^{2}={(\sqrt {\dfrac {2}{a}}\sin (\dfrac {\pi x}{a}))}^{2}$
$=\dfrac {2}{a}{\sin }^{2}(\dfrac {\pi x}{a})$
步骤 3：分析${\sin }^{2}(\dfrac {\pi x}{a})$的最大值
${\sin }^{2}(\dfrac {\pi x}{a})$在$0\leqslant x\leqslant a$的范围内最大值为1，发生在$\dfrac {\pi x}{a}=\dfrac {\pi }{2}+k\pi $（k为整数）。
步骤 4：确定几率密度最大值的位置
在$0\leqslant x\leqslant a$内，当$\dfrac {\pi x}{a}=\dfrac {\pi }{2}$时，${\sin }^{2}(\dfrac {\pi x}{a})$取最大值1，因此几率密度最大值的位置为：
$\dfrac {\pi x}{a}=\dfrac {\pi }{2}$
解得：
$x=\dfrac {a}{2}$