题目
11.（填空题，4.0分）设三阶方阵A的行列式|A|=6，A的一个特征值为-2，则A^*有一个特征值为____，A^3+2A^2-8A+E有一个特征值为____；
11.（填空题，4.0分）
设三阶方阵A的行列式|A|=6，A的一个特征值为-2，则$A^{*}$有一个特征值为____，$A^{3}+2A^{2}-8A+E$有一个特征值为____；
题目解答
答案
设三阶方阵 $A$ 的行列式 $|A| = 6$，特征值之一为 $-2$。
1. **求 $A^*$ 的特征值：**
由性质，若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $\frac{|A|}{\lambda}$ 是 $A^*$ 的特征值。
\[
\frac{|A|}{-2} = \frac{6}{-2} = -3
\]
故 $A^*$ 的一个特征值为 $-3$。
2. **求 $A^3 + 2A^2 - 8A + E$ 的特征值：**
设 $\lambda = -2$，则对应特征值为：
\[
\lambda^3 + 2\lambda^2 - 8\lambda + 1 = (-2)^3 + 2(-2)^2 - 8(-2) + 1 = -8 + 8 + 16 + 1 = 17
\]
故 $A^3 + 2A^2 - 8A + E$ 的一个特征值为 $17$。
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{cc}
-3 & 17
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：求 $A^*$ 的特征值
根据矩阵的性质，如果 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的特征值，那么 $\frac{|A|}{\lambda}$ 是矩阵 $A^*$ 的特征值。已知 $|A| = 6$，且 $A$ 的一个特征值为 $-2$，则 $A^*$ 的一个特征值为 $\frac{|A|}{-2} = \frac{6}{-2} = -3$。
步骤 2：求 $A^3 + 2A^2 - 8A + E$ 的特征值
设 $\lambda = -2$ 是 $A$ 的一个特征值，那么 $A^3 + 2A^2 - 8A + E$ 的特征值为 $\lambda^3 + 2\lambda^2 - 8\lambda + 1$。将 $\lambda = -2$ 代入，得到：
\[ (-2)^3 + 2(-2)^2 - 8(-2) + 1 = -8 + 8 + 16 + 1 = 17 \]
因此，$A^3 + 2A^2 - 8A + E$ 的一个特征值为 $17$。
根据矩阵的性质，如果 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的特征值，那么 $\frac{|A|}{\lambda}$ 是矩阵 $A^*$ 的特征值。已知 $|A| = 6$，且 $A$ 的一个特征值为 $-2$，则 $A^*$ 的一个特征值为 $\frac{|A|}{-2} = \frac{6}{-2} = -3$。
步骤 2：求 $A^3 + 2A^2 - 8A + E$ 的特征值
设 $\lambda = -2$ 是 $A$ 的一个特征值，那么 $A^3 + 2A^2 - 8A + E$ 的特征值为 $\lambda^3 + 2\lambda^2 - 8\lambda + 1$。将 $\lambda = -2$ 代入，得到：
\[ (-2)^3 + 2(-2)^2 - 8(-2) + 1 = -8 + 8 + 16 + 1 = 17 \]
因此，$A^3 + 2A^2 - 8A + E$ 的一个特征值为 $17$。