13.(填空题，2分)函数z=ln(x+y)在抛物线y²=4x上的点(1,2)处，沿着这抛物线在该点处偏向x轴正向的切线方向的方向导数为____.正确答案：(1)(sqrt(2))/(3)

本题考查方向导数的计算，解题思路是先求出抛物线在指定点处偏向$x$轴正向的切线方向的单位向量，再计算函数在该点处的偏导数，最后根据方向导数的计算公式求出结果。

1. 求切线方向及单位向量：
   • 对抛物线方程$y^{2}=4x$两边同时对$x$求导，根据复合函数求导法则$(u^n)^\prime = nu^{n - 1}u^\prime$，这里$u = y$，可得$2y\frac{dy}{dx}=4$。
   • 求解$\frac{dy}{dx}$，将上式两边同时除以$2y$，得到$\frac{dy}{dx}=\frac{2}{y}$。
   • 把点$(1,2)$代入$\frac{dy}{dx}$，可得$\frac{dy}{dx}\big|_{(1,2)}=\frac{2}{2} = 1$。
   • 切线的斜率$k = \frac{dy}{dx}=1$，切线方向向量可以取为$\vec{s}=(1,1)$。
   • 单位向量$\vec{e}$的计算公式为$\vec{e}=\frac{\vec{s}}{\vert\vec{s}\vert}$，其中$\vert\vec{s}\vert=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$，所以单位向量$\vec{e}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$。
2. 计算函数$z = \ln(x + y)$的偏导数：
   • 根据求导公式$(\ln u)^\prime=\frac{1}{u}u^\prime$，对$z$关于$x$求偏导数，把$y$看作常数，可得$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{x + y}$。
   • 对$z$关于$y$求偏导数，把$x$看作常数，可得$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{x + y}$。
   • 将点$(1,2)$代入偏导数中，$\frac{\partial z}{\partial x}\big|_{(1,2)}=\frac{1}{1 + 2}=\frac{1}{3}$，$\frac{\partial z}{\partial y}\big|_{(1,2)}=\frac{1}{1 + 2}=\frac{1}{3}$。
3. 计算方向导数：
   • 方向导数的计算公式为$\frac{\partial z}{\partial l}=\frac{\partial z}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial z}{\partial y}\cos\beta$，其中$(\cos\alpha,\cos\beta)$是方向向量的单位向量。
   • 已知$\frac{\partial z}{\partial x}\big|_{(1,2)}=\frac{1}{3}$，$\frac{\partial z}{\partial y}\big|_{(1,2)}=\frac{1}{3}$，单位向量$\vec{e}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$，即$\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos\beta=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
   • 代入公式可得$\frac{\partial z}{\partial l}=\frac{1}{3}\times\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{3}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{\sqrt{2}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{3}$。