已知某厂生产x件产品的成本为C(x)=25000+200x+(1)/(40)x^2（元），产品产量x与价格P之间的关系为P(x)=440-(1)/(20)x（元），求：（1）要使平均成本最小，应生产多少件产品；（2）当企业生产多少件产品时，企业可获得最大利润，并求最大利润.

我们来逐步解决这个题目。

题目解析

给出的信息如下：

• 成本函数：
  $C(x) = 25000 + 200x + \frac{1}{40}x^2$
  其中 $ x $ 是产品数量（单位：件），$ C(x) $ 是生产 $ x $ 件产品的总成本（单位：元）。

• 价格函数（即每件产品的售价）：
  $P(x) = 440 - \frac{1}{20}x$
  表示当生产 $ x $ 件产品时，每件产品的售价为 $ P(x) $。

（1）要使平均成本最小，应生产多少件产品

定义平均成本函数

平均成本（Average Cost, 简称 AC）是总成本除以产量：

$AC(x) = \frac{C(x)}{x} = \frac{25000 + 200x + \frac{1}{40}x^2}{x}$

化简：

$AC(x) = \frac{25000}{x} + 200 + \frac{1}{40}x$

求最小值

我们对 $ AC(x) $ 求导，找到极小值点：

$AC'(x) = -\frac{25000}{x^2} + \frac{1}{40}$

令导数为 0：

$-\frac{25000}{x^2} + \frac{1}{40} = 0$

$\frac{1}{40} = \frac{25000}{x^2}$

$x^2 = 25000 \times 40 = 1000000$

$x = \sqrt{1000000} = 1000$

验证是否为最小值

二阶导数：

$AC''(x) = \frac{50000}{x^3}$

当 $ x > 0 $，$ AC''(x) > 0 $，说明在 $ x = 1000 $ 处取得最小值。

结论（1）

要使平均成本最小，应生产 1000 件产品。

（2）当企业生产多少件产品时，企业可获得最大利润，并求最大利润

定义利润函数

利润 = 总收入 - 总成本

总收入 = 价格 × 产量 = $ x \cdot P(x) $

$R(x) = x \cdot P(x) = x \left(440 - \frac{1}{20}x\right) = 440x - \frac{1}{20}x^2$

利润函数：

$\pi(x) = R(x) - C(x) = \left(440x - \frac{1}{20}x^2\right) - \left(25000 + 200x + \frac{1}{40}x^2\right)$

化简：

$\pi(x) = 440x - \frac{1}{20}x^2 - 25000 - 200x - \frac{1}{40}x^2$

$\pi(x) = (440x - 200x) + \left(-\frac{1}{20} - \frac{1}{40}\right)x^2 - 25000$

$\pi(x) = 240x - \frac{3}{40}x^2 - 25000$

求最大利润

对利润函数求导：

$\pi'(x) = 240 - \frac{6}{40}x = 240 - \frac{3}{20}x$

令导数为 0：

$240 - \frac{3}{20}x = 0$

$\frac{3}{20}x = 240$

$x = \frac{240 \times 20}{3} = 1600$

验证是否为最大值

二阶导数：

$\pi''(x) = -\frac{3}{20} < 0$

说明在 $ x = 1600 $ 处取得最大值。

计算最大利润

代入 $ x = 1600 $ 到利润函数：

$\pi(1600) = 240 \times 1600 - \frac{3}{40} \times 1600^2 - 25000$

$= 384000 - \frac{3}{40} \times 2560000 - 25000$

$= 384000 - 192000 - 25000 = 167000$

结论（2）

当企业生产 1600 件产品 时，可以获得最大利润，最大利润为 167000 元。

最终答案

（1）要使平均成本最小，应生产 1000 件产品；
（2）当企业生产 1600 件产品 时，可以获得最大利润，最大利润为 167000 元。

✅ 答案总结：

• （1）最小平均成本：生产 $ \boxed{1000} $ 件；
• （2）最大利润：生产 $ \boxed{1600} $ 件，最大利润为 $ \boxed{167000} $ 元。