(2024·新课标I卷)设函数f(x)=(x+a)ln(x+b).若f(x)≥0，则a²+b²的最小值为（）A.(1)/(8) B.(1)/(4)C.(1)/(2) D.1

考查要点：本题主要考查函数的符号分析、不等式恒成立条件及二次函数的最值问题。
解题核心思路：

1. 符号一致性：要使乘积$(x+a)\ln(x+b) \geq 0$恒成立，需保证$(x+a)$与$\ln(x+b)$在定义域内始终同号。
2. 零点重合：通过分析两个因子的零点，确定$a$与$b$的关系，进而转化为求$a^2 + b^2$的最小值。
   破题关键点：

• 零点分析：找到$(x+a)=0$和$\ln(x+b)=0$的解，令其重合，确保符号变化点一致。
• 代数转化：将条件转化为关于$a$的二次函数，利用配方法求最小值。

步骤1：分析函数符号条件

函数$f(x) = (x+a)\ln(x+b)$的定义域为$x > -b$。

• $\ln(x+b)$的符号：当$x + b \geq 1$时，$\ln(x+b) \geq 0$；当$0 < x + b < 1$时，$\ln(x+b) < 0$。
• $x+a$的符号：当$x \geq -a$时，$x+a \geq 0$；当$x < -a$时，$x+a < 0$。

步骤2：确定零点重合条件

为保证乘积非负，两个因子的符号变化点必须重合，即：
$-a = 1 - b \quad \Rightarrow \quad b = a + 1.$

步骤3：代入求最小值

将$b = a + 1$代入$a^2 + b^2$：
$a^2 + b^2 = a^2 + (a + 1)^2 = 2a^2 + 2a + 1.$
配方法：
$2a^2 + 2a + 1 = 2\left(a^2 + a\right) + 1 = 2\left[\left(a + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}\right] + 1 = 2\left(a + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}.$
当$a = -\frac{1}{2}$时，最小值为$\frac{1}{2}$，此时$b = \frac{1}{2}$。