题目

11.一简谐波沿x轴负方向传播,波速为 /s, 在x轴上某质点的振动频率为1Hz、振幅-|||-为0.01m. t=0 时该质点恰好在正向最大位移处.若以该质点的平衡位置为x轴的原-|||-点.求此一维简谐波的表达式.

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查一维简谐波的波动方程建立，涉及波的基本参数（波速、波长、周期、振幅）的计算，以及波传播方向对波函数形式的影响。

解题核心思路：

  1. 确定波的基本参数：根据已知波速$u$、频率$f$，计算周期$T$、波长$\lambda$；
  2. 确定波函数形式：根据波传播方向（负$x$方向）选择相位符号；
  3. 确定初相位：利用$t=0$时质点处于正最大位移的条件，确定初相$\varphi$；
  4. 代入标准形式：将参数代入波函数的标准形式$y = A \cos( \omega t \pm kx + \varphi )$。

破题关键点：

  • 波传播方向与相位符号的关系：波沿负$x$方向传播时，波函数中$\omega t$与$kx$符号相同；
  • 初相位的确定：质点在$t=0$时处于正最大位移，对应相位为$0$。

步骤1：计算波的基本参数

  1. 周期：$T = \frac{1}{f} = \frac{1}{1} = 1 \, \text{s}$；
  2. 波长：$\lambda = \frac{u}{f} = \frac{1}{1} = 1 \, \text{m}$；
  3. 角频率：$\omega = 2\pi f = 2\pi \, \text{rad/s}$；
  4. 波数：$k = \frac{2\pi}{\lambda} = 2\pi \, \text{m}^{-1}$。

步骤2：确定波函数形式

  • 波沿负$x$方向传播，波函数形式为：
    $y = A \cos( \omega t + kx + \varphi )$

步骤3：确定初相位$\varphi$

  • $t=0$时，质点在$x=0$处处于正最大位移，即：
    $\cos(0 + 0 + \varphi) = 1 \implies \varphi = 0.$

步骤4：代入参数

  • 振幅$A=0.01 \, \text{m}$，$\omega=2\pi$，$k=2\pi$，$\varphi=0$，代入得：
    $y = 0.01 \cos(2\pi t + 2\pi x).$
  • 化简为：
    $y = 0.01 \cos\left[ 2\pi \left( t + x \right) \right].$